Integral

12.02.2022, 14:11	qewewq	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral Seien zwei Funktionen $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ gegeben. Wenn gilt $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{1} f(x) \ dx + \int_{1}^{\infty} g(x) \ dx= 2 \end{eqnarray}$ Gilt dann automatisch auch $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{6} f(x) \ dx+ \int_{6}^{\infty} g(x) \ dx= 2 \end{eqnarray}$ ? Wenn ich meine Grenzen ändere, ich beziehe mich jetzt nur auf die 1 und 6, aber nach dem selben Prinzip aufschreibe, gilt das dann auch direkt? Oder gibt es Ausnahmen?
12.02.2022, 14:41	G900928	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Einfach nein. Bitte stell keine Integralaufgaben, wenn du keine Ahnung hast.
12.02.2022, 15:13	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn das für eine Antwort? Man stellt eine Frage, weil man die Antwort nicht kennt und um seinen Horizont zu erweitern. Wenn du also keine Ahnung hast, wo/wie du hier helfen kannst, dann lass es. Andere Helfer werden sicher gerne versuchen dem Fragesteller die Unklarheiten auszuräumen und den Horizont zu erweitern. @qewewq: Ich mach das einfach mal anhand eines Beispiels: Wir sind nun an f(x) = x interessiert (ich nehm also mal nur eine Funktion). $\begin{eqnarray} \int_{-a+0}^0 f(x) + \int_0^{a+0} f(x) = 0 \end{eqnarray}$ Wähle nun mal a = 2 und schau dir das im Graphen oben an. Du wirst feststellen, dass egal wie wir a wählen, es immer die gleiche Fläche über wie unter der x-Achse sein wird und diese sich gegenseitig zu 0 wegheben. Wenn du nun die 0 zu 1 änderst, ist da nicht mehr der Fall. $\begin{eqnarray} \int_{-a+1}^1 f(x) + \int_1^{a+1} f(x) \neq 0 \end{eqnarray}$ (Das -a+1 bzw. a+1 bedeutet im obigen Beispiel nur so viel "Geh von der Integraltrennung bei x = 1 zwei (a) Schritte nach links bzw zwei (a) Schritte nach rechts.) Die Fläche links von 1 und rechts von 1 ist nun unterschiedlich groß über/unter der x-Achse und damit heben sich die Werte der Integrale nicht mehr gegenseitig weg.
13.02.2022, 06:26	qewewq	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Beispiel verstehe ich. Aber was ist, wenn ich das uneigentliche Integral bestimmen möchte, also in dem Fall für die Funktion -x wäre das ja gar nicht möglich. Also könnte ich das oben nur folgern, wenn ich das uneigentliche Integral habe?
13.02.2022, 08:55	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Geben wir doch einfach ein ganz konkretes Gegenbeispiel an: $\begin{eqnarray} f(x) = e^{x-1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(x) = e^{1-x} \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \int\limits_{-\infty}^1 f(x) ~ \dd x + \int\limits_1^{\infty} g(x) ~ \dd x = 2 \end{eqnarray}$ aber $\begin{eqnarray} \int\limits_{-\infty}^6 f(x) ~ \dd x + \int\limits_6^{\infty} g(x) ~ \dd x = e^5 + e^{-5}\neq 2 \end{eqnarray}$ .
13.02.2022, 08:57	qewewq	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich voraussetze, dass g(x) = f(x) ist, kann ich das dann folgern für alle Funktionen?
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13.02.2022, 09:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Na in diesem Spezialfall ist das ja trivial.
13.02.2022, 09:07	qewewq	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Beispiel verstehe ich. Wenn ich jetzt aber zum Beispiel $\begin{eqnarray} e^{-x^2} \end{eqnarray}$ habe. $\begin{eqnarray} \int\limits_{-\infty}^1 f(x) ~ \dd x + \int\limits_1^{\infty} f(x) ~ \dd x = \sqrt{\pi} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int\limits_{-\infty}^2 f(x) ~ \dd x + \int\limits_2^{\infty} f(x) ~ \dd x = \sqrt{\pi} \end{eqnarray}$ . Und ich hatte es mir auch visuell versucht vorzustellen und ich habe kein Gegenbeispiel gefunden, warum es nicht klappen sollte. Aber ja, danke dir! Also, sowie ich dich verstanden habe, gilt das bei f(x) = g(x), aber wenn's g(x) \neq f(x) ist, dann nicht unbedingt.

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