Folge mit Fibonacci-Zahlen

12.02.2022, 18:12	1/0	Auf diesen Beitrag antworten »
Folge mit Fibonacci-Zahlen Hey, Ich versuche zu zeigen, dass gilt: $\begin{eqnarray} f_{n+1} \cdot f_{n-1} - f_n ^2 = (-1)^n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ und f_n das n-te Element der Fibonacci-Folge. Mein Ansatz war das mit vollständiger Induktion zu lösen. Aber ich kann das nicht vernünftig mit der Induktionsvoraussetzung auflösen. Ist das überhaupt der richtige Lösungsansatz ? Wenn ja, versuch ich's noch eine Weile auf dem Papier bevor ich mich mit Latex-Code rumquäle Danke im Voraus
12.02.2022, 18:21	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, das klappt. Forme im Induktionsschritt $\begin{eqnarray} n\to n+1 \end{eqnarray}$ gemäß Fibonacci-Rekursion um $\begin{eqnarray} {\color{red}f_{n+2}}\cdot f_n - {\color{red}f_{n+1}}\cdot f_{n+1} = {\color{red}(f_{n+1} + f_n)}\cdot f_n - {\color{red}(f_n+f_{n-1})}\cdot f_{n+1} = \ldots \end{eqnarray}$
12.02.2022, 18:51	1/0	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f_{n+2} \cdot f_n - f_{n+1}^2 =(f_{n+1} + f_n) \cdot f_n - (f_n + f_{n-1})\cdot f_{n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = f_{n+1}\cdot f_n +f_n^2 - f_n \cdot f_{n+1} - f_{n-1} \cdot f_{n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = f_n^2 - f_{n-1}\cdot f_{n+1} = (-1)\cdot (-f_n^2 + f_{n-1}\cdot f_{n+1}) = (-1) \cdot (-1)^n = (-1)^{n+1} \end{eqnarray}$ Bei der vorletzten Gleichung wurde die I.V. verwendet. Wunderbar, doch nicht so schwer. Vielen Dank für den Tipp !!
12.02.2022, 19:03	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau. Noch allgemeiner (und ebenso einfach zu beweisen) gilt übrigens $\begin{eqnarray} f_{n+1}f_{m-1} - f_nf_m = (-1)^m f_{n-m+1} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n+1\geq m\geq 1 \end{eqnarray}$ , deins ist der Spezialfall $\begin{eqnarray} n=m \end{eqnarray}$ .
12.02.2022, 23:44	1/0	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, zu dieser Aufgabe gibt es noch eine weitere Teilaufgabe, die dank unserer Vorarbeit m.E. leicht zu lösen ist. Dennoch würde ich mich gerne rückversichern wollen. Ich hoffe es ist in Ordnung, wenn ich das schnell noch an diesen Thread anhänge. Zu zeigen: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}\frac{f_{n+1}f_{n-1}}{f_n^2} = 1 \end{eqnarray}$ Zu dem Term kann man $\begin{eqnarray} - \frac {f_n^2}{f_n^2} + 1 \end{eqnarray}$ (= 0) addieren und erhält mit Hilfe der oben bewiesenen Gleichung: $\begin{eqnarray} \frac{f_{n+1}f_{n-1}}{f_n^2} = \frac{(-1)^n}{f_n^2} + 1 \end{eqnarray}$ Wenn man nun den Limes für n gegen unendlich betrachtet, erhält man eine alternierende Nullfolge und die konstante Folge 1, d.h. 0 + 1 = 1 ist der gesucht Grenzwert

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