Anzahl der Möglichkeiten bestimmen

13.02.2022, 00:15

Patrick1990

Anzahl der Möglichkeiten bestimmen

Und noch eine weitere Aufgabe von mir...
Ich soll die Anzahl aller Möglichkeiten für folgende Probleme ermitteln:
a) Aus Ziffern 1-9 entstehen durch Umsortieren neunstellige Zahlen:
$\begin{eqnarray*} 9! \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten

b) Aus Ziffern 1-9 werden neunstellige Zahlen gebildet, wobei jede der neun Ziffern beliebig oft vorkommen darf.
$\begin{eqnarray*} 9^9 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten

c) Aus Ziffern 0-9 werden neunstellige Zahlen gebildet, wobei jede der neun Ziffern beliebig oft vorkommen darf.
$\begin{eqnarray*} 10^9 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten

Nun folgen Aufgaben auf Basis der zweiten Stelle der Matrikelnummer, die bei mir Null ist:

d) Aus Ziffern 1-9 werden Zahlen der Länge 0 gebildet, wobei jede Ziffer höchstens einmal verwendet werden darf.
0 Möglichkeiten

e) Aus Ziffern 1-9 werden Zahlen der Länge 0 gebildet, wobei jede Ziffer beliebig oft verwendet werden darf.
0 Möglichkeiten

f) Aus Ziffern 1-9 werden Zahlen der Länge 0 gebildet, wobei jede Ziffer höchstens einmal vorkommen darf und die gewählten Ziffern aufsteigend notiert werden.
0 Möglichkeiten

g) Aus Ziffern 1-9 werden Zahlen der Länge 0 gebildet, wobei jede Ziffer mehrfach vorkommen darf und die gewählten Ziffern aufsteigend notiert werden.
0 Möglichkeiten

Vielleicht könnt ihr mir ja einmal erklären, wie man sowas macht, wenn die Länge größer Null ist.

Nun gibt es noch einen Zusatz:

h) Wie viele Zahlen von 1 bis einschließlich 54321 sind durch 6, aber nicht durch 9 teilbar?
Jede sechste Zahl ist durch 6 teilbar, diese Anzahl könnte ich ja noch ermitteln. Wie sieht es aber mit der zweiten Bedingung aus?
Da fehlt mir auch jeglicher Ansatz.

Würde mich freuen wenn wir die Aufgabe Stück für Stück gemeinsam durchgehen könnten.

13.02.2022, 08:42

HAL 9000

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Hmm, echte neunstellige Zahlen dürfen nicht mit einer 0 beginnen (es sei denn, man lässt explizit führende Nullen zu, wenn man von mehrstelligen Zahlen spricht). D.h., bei c) sollte die Antwort eher $\begin{eqnarray*} 9\cdot 10^8 \end{eqnarray*}$ lauten.

Irgendwie sieht es so aus, als haben die Aufgabensteller nicht so richtig dran gedacht, dass diese Matrikelnummer-Ziffer auch mal 0 sein kann. Jedenfalls bin ich der Ansicht, dass die Antworten auf d)-g) jeweils 1 sein sollte:

Man kann ja $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -stellige Zahlen auch mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Tupeln von Ziffern identifizieren. In dem Sinne ist ein 0-Tupel das leere Tupel (), und davon gibt es genau 1. In dem Sinne gehen etwa b) und e) konform:

Es gibt genau $\begin{eqnarray*} 9^n \end{eqnarray*}$ Zahlen der Länge $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , die aus den Ziffern 1-9 gebildet werden - auch im Fall $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ ...

13.02.2022, 08:58

IfindU

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Zitat:

Original von HAL 9000
Irgendwie sieht es so aus, als haben die Aufgabensteller nicht so richtig dran gedacht, dass diese Matrikelnummer-Ziffer auch mal 0 sein kann. Jedenfalls bin ich der Ansicht, dass die Antworten auf d)-g) jeweils 1 sein sollte: [...]

Das klingt nach einer Definitionsfrage: Hat die Zahl 0 die Länge 0? Persönlich hätte ich nein gesagt. Wenn man die Zahl komplett als führende Null weglassen würde (wie bei der Tupelinterpretation) wäre es effektiv eine "leere" Matrikelnummer, oder? Spätestens die Uni-Anmeldesysteme können damit sicher nicht umgehen Big Laugh

13.02.2022, 09:06

HAL 9000

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Wem das mit dem Tupel nicht gefällt, dann vielleicht eine für Informatiker einleuchtendere Erklärung:

Man betrachtet die Zahlen als Strings. In dem Sinne ist die einzige Zahl mit 0 Stellen der leere String. Und den gibt es ja, also Anzahl 1. Augenzwinkern

13.02.2022, 09:21

Huggy

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@ HAL + IfindU
Die eigentliche Frage zu d) - g) ist ja:

Zitat:

Original von Patrick1990
Vielleicht könnt ihr mir ja einmal erklären, wie man sowas macht, wenn die Länge größer Null ist.

Da werden die verschiedenen elementaren kombinatorischen Möglichkeiten des Ziehens mit/ohne Zurücklegen und mit/ohne Reihenfolge durchdekliniert.

13.02.2022, 09:41

HAL 9000

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Zu h) Anzahl der durch 6 teilbaren Zahlen in diesem Intervall abzüglich der zugleich durch 6 und 9, also durch 18 teilbaren Zahlen:

$\begin{eqnarray*} \left\lfloor \frac{54321}{6}\right\rfloor - \left\lfloor \frac{54321}{18}\right\rfloor = 9053 - 3017 = 6036 \end{eqnarray*}$

13.02.2022, 10:33

Patrick1990

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Zu d-e)
Es steht ja "der Länge 0" --> Es gibt also Zahlen der Länge 0?
Das verwirrt mich jetzt etwas.

Wie würde ich denn die Aufgaben lösen, wenn die Länge bspw. 3 wäre?

13.02.2022, 11:25

Huggy

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Sei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die Zahl der voneinander verschieden Ziffern, aus denen wir ziehen können. Bei den Aufgaben d) bis g) sind es die Ziffern $\begin{eqnarray*} 1 - 9 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} n=9 \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ die Länge der Zahl, also gleich der Zahl der gezogen Ziffern.

Wenn jede Ziffer nur einmal gezogen werden darf, ist es Ziehen ohne zurücklegen. Wenn jede Ziffer mehrfach vorkommen darf, ist es Ziehen mit Zurücklegen. Wenn die gezogenen Ziffern in aufsteigender Reihenfolge positioniert werden, gibt es nur eine Reihenfolge. Das entspricht einem Ziehen ohne Beachtung der Reihenfolge. Ohne diese Einschränkung hat man Ziehen mit Beachtung der Reihenfolge.

Damit solltest du hoffentlich d) bis g) lösen können. ich gebe noch Hilfe zu d). Das Modell ist Ziehen ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge.

14.02.2022, 21:29

Patrick1990

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Vielen Dank! Ich denke damit hat es geklappt.

Ich habe nun mal die Länge 2 angenommen und komme auf folgende Ergebnisse:

d) $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n-k)!}=72 \end{eqnarray*}$
e) $\begin{eqnarray*} n^k=81 \end{eqnarray*}$
f) $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k}=36 \end{eqnarray*}$
g) $\begin{eqnarray*} \binom{n+k-1}{k}=45 \end{eqnarray*}$

Passt das so?

Dank HAL 9000 ist die h) ja bereits gelöst.

15.02.2022, 07:33

Huggy

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Alles richtig! Freude

15.02.2022, 07:50

Patrick1990

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Vielen Dank für eure große Hilfe!

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