Absolute Konvergenz einer Reihe

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Juliet4815 Auf diesen Beitrag antworten »
Absolute Konvergenz einer Reihe
Meine Frage:
Sei eine beschränkte Folge.
Zeigen Sie, dass die Reihe



absolut konvergiert.

Meine Ideen:
Allgemein wollte ich das Quotientenkriterium nutzen, aber vorher muss man noch die Grenzen anpassen, oder?
Damit k bei k=0 beginnt, dafür habe ich dann in der Reihe die die ks je um eins erhöht, dann hätte man nur noch
Dann verwendet man das Quotientenkriterium, wodurch das e wegfällt.
Ich hatte dann nur noch
Jetzt weiß ich nicht mehr so recht ...
Schon einmal vielen Dank für die Hilfe smile

PS: In der Vorschau werden mir die ganzen eingefügten Terme mit Latex nicht angezeigt ... muss ich da noch irgendwas umstellen? (also die eckigen Klammern vorher habe ich)
Juliet4815 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Absolute Konvergenz einer Reihe
Wobei, mir fällt gerade auf, kann man nicht daraus schon folgern, dass die Reihe divergiert, da der Quotient immer größer als eins sein wird, da man ja immer das eins größere durch das eins kleinere teilt...
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Absolute Konvergenz einer Reihe
Eine Reihe ist gemäß Definition absolut konvergent, wenn die Reihe aus den Absolutbeträgen ihrer Glieder konvergent ist. Es ist also die Konvergenz von



zu zeigen. Wegen der Beschränktheit der Folge lässt sich für diese Reihe leicht eine Majorante angeben. Für die Majorante ist dann mit dem Quotienten leicht die Konvergenz zu zeigen.
Juliet4815 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Absolute Konvergenz einer Reihe
Mhh ok danke, ich bin generell nicht so gut darin, sowas passend abzuschätzen und bisher habe ich es eher nur mit konkreten Zahlen gemacht.
Ist es nicht möglich das -k im Exponenten wegzulassen, das wäre ja auf jeden Fall größer, aber dann komme ich beim Quotientenkriterium wieder auf etwas sehr ähnliches und das ist ja dooferweise wieder größer 1 :/ oder kann man daraus irgendwie eine bekannte Reihe machen ... also sowas wie harmonisch oder geometrisch?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Absolute Konvergenz einer Reihe
Zunächst mal gilt durchaus nicht zwingend



Wie kommst du auf diese Vermutung? Mein Vorschlag beruht darauf, sich zuerst durch Angabe einer Majorante von der Betrachtung dieses Quotienten frei zu machen. Man muss danach beim Quotientenkriterium nur noch den Quotienten der Exponentialterme betrachten.

Schreib mal hin, was die Beschränktheit von gemäß Definition bedeutet. Dann sollte die Majorante klar sein.
Juliet4815 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Absolute Konvergenz einer Reihe
Naja irgendwie dachte ich, dass sich der Quotient im Unendlichen doch nur an die 1 annähern kann, da k bei 1 beginnt, immer eine größere Zahl durch eine kleinere Zahl geteilt wird, bei sehr großen Zahlen wird es doch fast 1, aber kann es doch trotzdem nie erreichen ... oder ... ich bin einfach doof.
Mhh eine Folge heißt dann beschränkt, wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist, also es gibt ein mit und für alle
Also muss r der Folge entsprechen ... du meintest ja, dass man dann nur noch die Exponentialterme betrachten muss ... aber selbst dann komme ich auf e, was ja größer als 1 ist ... da brauche ich dann wohl das, was man aus der Beschränktheit der Folge erhält ... och man, ich kann das alles nicht unglücklich
 
 
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Absolute Konvergenz einer Reihe
Zitat:
Original von Juliet4815
Naja irgendwie dachte ich, dass sich der Quotient im Unendlichen doch nur an die 1 annähern kann, da k bei 1 beginnt, immer eine größere Zahl durch eine kleinere Zahl geteilt wird,

Wie kommst du darauf???
Betrachte mal die Folge



Die ist beschränkt und es ist



Oder betrachte die Folge



Die ist auch beschränkt und da ist der Quotient abwechselnd und . Mir scheint, du betrachtest nur monotone beschränkte Folgen.

Zitat:
Mhh eine Folge heißt dann beschränkt, wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist, also es gibt ein mit und für alle

Falsch! Die beiden Behauptungen widersprechen sich ja offensichtlich falls die nicht konstant sind. Richtig ist, es gibt mit und mit . Beides für alle . Das lässt sich zusammenfassen zu: Es gibt mit . Man kann wählen.

Das bedeutet



ist eine Majorante von



Zitat:
du meintest ja, dass man dann nur noch die Exponentialterme betrachten muss ... aber selbst dann komme ich auf e, was ja größer als 1 ist

Vielleicht rechnest du



doch noch mal nach.
Juliet4815 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Absolute Konvergenz einer Reihe
Vielen Dank für deine Mühe, jetzt komme ich auch Konvergenz. Ach Mensch, alleine kann ich es trotzdem nicht, ich versuche mich mal an paar weiteren Aufgaben. unglücklich
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Absolute Konvergenz einer Reihe
Wie sagt man doch: Übung macht den Meister!
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