Gekoppelte Folgen, explizite Formeln finden

14.02.2022, 09:14

densch

Gekoppelte Folgen, explizite Formeln finden

Hallo, ich hatte kürzlich eine Aufgabe (keine Schule, Hausaufgabe oder so, sondern kam bei einem "Hobby" auf):
Ich habe 2 Folgen x(t) und y(t), die wie folgt definiert sind:
x(0) und x(0) sind shclicht und ergreifend vorgegeben.

x(t+1)=a*K(t)+b
y(t+1)=c*K(t)+d

hierbei ist K(t) die Summe aller Folgenglieder beider Folgen.
Also K(1)=x(0)+y(0)
K(2)=x(0)+y(0)+x(1)+y(1)
usw.

Klar kann ich in einer Exceltabelle von zeile zu Zeile das durchspielen und so manuell sich von Folgewert zu Folgewert hangeln.

Aber ich hätte gerne explizite Formeln dazu :-)

Bei der mir vorliegenden Aufgabe hatte ich zum Glück noch eine direkten Verbindung zwischen x(t) und y(t) a la x(t)=e*y(t), was es sehr stark vereinfachte.

(Übrigens sind a,b,c,d,e einfach nur bekannte Konstanten)

Angenommen diese Beziehung zwischen den zweien Folgen hätte es nicht gegeben und wir hätten hier 2 separate Folgen, die da miteinander verkoppelt sind.
Wie würde man da allgemein die expliziten Formeln finden?

Nachfolgend mal noch so meine Überlegungen:
Ich vermute dass das Ganze auf was mit Matrizenrechnung, Eigenwerte und Co. rausläuft.

Denn es gilt ja vektoriell gesehen :
(x(t+1),y(t+1))=K(t)* (a,c) +(b,d)

K(t) kann man ja auffassen als
K(t)=(1,1)*( (x(t-1),y(t-1)) + (x(t-2),y(t-2)) +...+ (x(0),y(0)) )

also die summe der Folgenvektoren multipliziert mit (1,1). Ergibt als Skalarprodukt ja gerade das K(t).

Aber wie baut man sich aus diesen Infos nun explizite Formeln für x(t) und y(t)? :-/

Mich interessiert da sehr das allgemeine Vorgehen, nicht nur zwingend die Antwort :-)

14.02.2022, 09:32

HAL 9000

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Ok, gegeben sind somit

$\begin{eqnarray*} x(t+1) = aK(t)+b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(t+1) = cK(t)+d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} K(t) = \sum_{i=0}^{t-1} (x(i)+y(i)) \end{eqnarray*}$ .

Für die Folge $\begin{eqnarray*} z(t):=x(t)+y(t) \end{eqnarray*}$ gilt damit $\begin{eqnarray*} z(t+1) = (a+c)K(t)+b+d \end{eqnarray*}$ .

Nun ist $\begin{eqnarray*} z(t+1) = K(t+2)-K(t+1) \end{eqnarray*}$ , damit bekommen wir die lineare Differenzengleichung

$\begin{eqnarray*} K(t+2) = K(t+1) + (a+c)K(t)+b+d \end{eqnarray*}$

mit den beiden Startwerten $\begin{eqnarray*} K(0)=0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} K(1)=b+d \end{eqnarray*}$ . Das ermöglicht die explizite Darstellung der Folge K(t), und damit natürlich dann auch $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y(t) \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Und du meinst auch tatsächlich $\begin{eqnarray*} K(t) = \sum_{i=0}^{t-1} (x(i)+y(i)) \end{eqnarray*}$ , und nicht doch etwa $\begin{eqnarray*} K(t) = \sum_{i=0}^t (x(i)+y(i)) \end{eqnarray*}$ ? Weil letzteres tatsächlich zu einer einfachen (verschobenen) geometrischen Folge $\begin{eqnarray*} K(t) \end{eqnarray*}$ führen würde...

14.02.2022, 14:15

densch

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Ich stelle gerade fest dass ich im ursprungspot etwas durcheinander war mit den t's.
Natürlich ist

x(t+1)=a*K(t+1)+b
y(t+1)=c*K(t+1)+d

nur der Ordnung halber, wobei du ja direkt gemerkt hast was ich meinte.

Klar, natürlich soll K(t)=Summe von i=t bis i-1 von (x(i)+y(i) sein.

Bei den Startwerten für K bin ich mir nicht ganz sicher, weil ja an sich K(0) gar nicht definiert ist (ich meine, x(0) und y(0) sind die ersten Folgeglieder. Vorgänger in dem Sinne gibt es nicht).

K(1) sollte eigentlich x(0)+y(0) sein, weil halt einfach die Einsätze aus der ersten Runde(Runde 0) zusammengezählt.
x(0) und y(0) haben übrigens nichts mit a,b,c,d zu tun.

Mit der Formel für K(t+2) und deren Herleitung stimm ich soweit überein, nur die Startwerte K(0) und K(1) passen glaube ich noch nicht.

Wie würde man zu K(t) damit eine explizite Formel finden? :O

Wüsste nicht wie man so eine Gleichung mit 3 Folgewerten der Folge K(n) explizit finden kann?

14.02.2022, 14:24

HAL 9000

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Zitat:

Original von densch
Klar, natürlich soll K(t)=Summe von i=t bis i-1 von (x(i)+y(i) sein.

Ich sage nur: Konzentration!!!

14.02.2022, 14:32

densch

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Generell sind die x(t) und y(t) die Einsätze in einem Roulettespiel, wobei ich aus diversen Gründen statt mit 1 die Rundenzahl mit 0 beginnen lasse.

Und K(t) sind halt die Einsätze aus den Vorrunden, mittels derer sich ergibt welche Einsätze in dieser Runde zu platzieren sind.

Hierbei ist x(t) der Einsatz in dieser Runde auf die Farbe und y(t) der Einsatz auf die Null.

Nur so zur Hintergrundinfo, falls es zum Verständnis hilfreich ist.

Die Rekursionsformeln wurden mathematishc hergeleitet und halt verallgemeinert.

14.02.2022, 14:40

HAL 9000

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Ok, ich ignoriere mal den Blackout

Zitat:

Original von densch
Klar, natürlich soll K(t)=Summe von i=t bis i-1 von (x(i)+y(i) sein.

(den du aus mir nur schwer verständlichen Gründen nicht korrigieren willst) und lese das Problem nunmehr als

$\begin{eqnarray*} x(t) = aK(t) + b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(t) = cK(t) + d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} K(t) = \sum_{i=0}^{t-1} (x(i)+y(i)) \end{eqnarray*}$

alle drei gültig für $\begin{eqnarray*} t\geq 1 \end{eqnarray*}$ (d.h. für t=0 noch nicht). Dann landen wir auch wieder (nur aus anderen Gründen) bei der erwähnten geometrischen Folge. Dann ist nämlich (ähnlich den obigen Überlegungen $\begin{eqnarray*} K(t+1)-K(t) = x(t)+y(t) = (a+c)K(t)+b+d \end{eqnarray*}$ , umgestellt heißt das

$\begin{eqnarray*} K(t+1) = (a+c+1)K(t)+b+d \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} a+c\neq 0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} t\geq 1 \end{eqnarray*}$ bedeutet dies Rekursion $\begin{eqnarray*} K(t+1)+\frac{b+d}{a+c} = (a+c+1)\left(K(t)+\frac{b+d}{a+c}\right) \end{eqnarray*}$ mit expliziter Darstellung

$\begin{eqnarray*} K(t) = \left(K(1)+\frac{b+d}{a+c}\right)\cdot (a+c+1)^{t-1} - \frac{b+d}{a+c} = \left(x(0)+y(0)+\frac{b+d}{a+c}\right)\cdot (a+c+1)^{t-1} - \frac{b+d}{a+c} \end{eqnarray*}$ .

15.02.2022, 21:17

densch

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ok, ich ignoriere mal den Blackout

Zitat:

Original von densch
Klar, natürlich soll K(t)=Summe von i=t bis i-1 von (x(i)+y(i) sein.

Sorry, mir fiel sprichwörtlich eben erst auf was du überhaupt mit Blackout meintest.
Ich habe als überlegt "Ist der jetzt sauer wiel ich im Eingangspost als Obergrenze t statt t-1 eingegben habe?"
Ist mir erst eben aufgefallen was für einen Unsinn ich da bei der Untergrenze geshcrieben habe, sorry.

Hm, also bis zur Rekursionsformel für K(t+1) kann ich folgen.
Wie du dann auf die nachfolgenden Sachen kommst, verstehe ich nicht ganz.

Wie du sagst, kommt da am Ende eine geometrische Reihe raus.
Kommt man da mit den entsprechenden Formeln für geometrische Reihe (bzw. deren Partialsummen) auf diese Ausdrücke? :-)

PS: Abseits vom Thema: Im Editor sehe ich die ganzen grässlichen latex Ausdrücke, die du da benutzt hast.
So als Profis, wie kommt ihr damit so klar?
Ich meine, sowas wie K(t) = \left(K(1)+\frac{b+d}{a+c}\right)\cdot (a+c+1)^{t-1} - \frac{b+d}{a+c} = \left(x(0)+y(0)+\frac{b+d}{a+c}\right)\cdot (a+c+1)^{t-1} - \frac{b+d}{a+c}
zu konstruieren (rein vom Matheteil mal abgesehen, rein die verschachtelten latex Asudrücke) da blickt man doch nicht durch, oder? O_o

Das ist eins der Hauptgründe warum ich Latex nicht benutze.
Wiel meist die Maethamtischen Ausdrücke shcon komplex genug sind.
Da auch noch nahczuschlagende Latex Befehle reinzuwursteln, da verlier ich den Überblick O_o

15.02.2022, 21:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von densch
Im Editor sehe ich die ganzen grässlichen latex Ausdrücke, die du da benutzt hast.

Wichtig ist, was hinten rauskommt, d.h., das optische Ergebnis. In dem Zusammenhang den zugehörigen Quelltext als "gräßlich" zu bezeichnen ausgerechnet von jemanden, der so einen Bullshit (sowohl von der Optik als auch vom Inhalt) fabriziert wie das schon erwähnte

Zitat:

Original von densch
Klar, natürlich soll K(t)=Summe von i=t bis i-1 von (x(i)+y(i) sein.

ist ja wohl der Gipfel der Unverschämtheit. Finger2

Zum Inhalt:

Zitat:

Original von HAL 9000
Für $\begin{eqnarray*} a+c\neq 0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} t\geq 1 \end{eqnarray*}$ bedeutet dies Rekursion $\begin{eqnarray*} K(t+1)+\frac{b+d}{a+c} = (a+c+1)\left(K(t)+\frac{b+d}{a+c}\right) \end{eqnarray*}$

Die Verschiebung $\begin{eqnarray*} \frac{b+d}{a+c} \end{eqnarray*}$ ist eben geschickt gewählt: Sie bewirkt, dass die um diesen Wert verschobene Folge $\begin{eqnarray*} K(t) \end{eqnarray*}$ eben eine geometrische Folge ist, wie diese Gleichung zeigt. Einfach mal etwas länger als 1 Minute drüber nachdenken, statt gleich aufzugeben.

17.02.2022, 05:05

densch

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Schön für die, die schon den fertigen Latexausdruck haben.
Die anderen müssen sich den verschachtelten Latexmist erst zusammenbauen, da blickt doch kein Schwein durch mit den verschiedenen Latexausdrücken und deren ineinander gepackten verschiedenen Klammern -.-
Sowas ist eine Unverschämtheit, dass man ne extra Programmiersprache lernen muss um ne Formel halbwegs shcön darstellen zu können -.-

1 Minute Formel schreiben und 5 Minuten den Latexquark reinwurschteln mit korrekter Klammerung, tut man sich doch nicht an -.-

Kann ich auch hingehen und ab jetzt immer alle MAtheformeln in der Prefixschreibweise a la
*(+(1,2),7) schreiben, da normale Ausdrücke in die Form umzubauen ist auch nicht nerviger als die spezielle Latexsyntax mit Klammerung zu benutzen -.-

Zur expliziten Formel frage ich erst gar nicht mehr nach, habe keine Lust "mal etwas länger als 1 Minute drüber nachzudenken" und google mir jetzt einfach die Sparkassenformel. Damit wird es sich ja sicherlich berechnen und herleiten lassen.

Und Zeit meines Lebens werde ich diesen Latexmüll nicht verwenden, genauso wenig wie Linux wo man jeden Msit mit Konsolenbefehl machen muss und die hippen Superhackerz an den Unis einem den Quatsch immer aufschwatzen wollen. -.-

17.02.2022, 06:56

HAL 9000

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Fachlich scheint ja nun alles geklärt zu sein, sonst hättest du nicht soviel Zeit und Energie für diese Tirade.

Zitat:

Original von densch
da blickt doch kein Schwein durch mit den verschiedenen Latexausdrücken

Ja, das ist richtig. Dann troll dich mal zurück in deinen Stall und grunze dort weiter - LaTeX ist tatsächlich nur für Menschen. Teufel

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