Grenzwert von x/sin(3x)

15.02.2022, 06:49

MMchen60

Grenzwert von x/sin(3x)

Hallo liebe Forumsgemeinde, ich bräuchte mal einen kurzen Tipp.
Wie ich den Grenzwert von x/sin(x) für x->0 nachweise, weiß ich wie das geht. Wie ist das jetzt aber mit x/sin(3x)? Der ist ja 1/3, klar. Aber geht das genauso wie bei x/sin(x), nur dass ja dann für x->0 im Nenner ein 3mal größerer Wert steht als im Zähler? Also sich nur verbal auf den lim von x/sin(x) beziehen mit dem Hinweis, dass ja dann im Nenner ein 3mal größerer Wert steht? Oder lässt sich das nonverbal durch mathematische Ausdrücke darstellen?
Danke für Antwort

15.02.2022, 07:38

HAL 9000

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Du könntest z.B. $\begin{eqnarray*} t=3x \end{eqnarray*}$ substituieren: Dann ist $\begin{eqnarray*} x\to 0 \end{eqnarray*}$ gleichbedeutend mit Grenzübergang $\begin{eqnarray*} t\to 0 \end{eqnarray*}$ , und es folgt

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac{x}{\sin(3x)} = \lim_{t\to 0} \frac{t}{3\sin(t)} = \frac{1}{3} \lim_{t\to 0} \frac{t}{\sin(t)} = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ .

15.02.2022, 08:23

MMchen60

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Zitat:

Original von HAL 9000
Du könntest z.B. $\begin{eqnarray*} t=3x \end{eqnarray*}$ substituieren:

Perfekt, danke.

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