Zusammenhang von Potenzen und Fakultäten

15.02.2022, 13:28	Short	Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenhang von Potenzen und Fakultäten Meine Frage: Ich habe bei der Beaufsichtigung der Hausaufgaben meines Sohnes ein wenig herumgekritzelt. Dabei habe ich die Ergebnisse der Quadratzahlen voneinander abgezogen, nach zweimaliger Subtraktion war das Ergebnis immer 2. =2! Neugierig machte ich mich an die 3. Potenz, nach 3maliger Subtraktion das Ergebnis 6. =3! Neugierig hab ich mich an den Computer gesetzt und noch höhere Potenzen errechnet. Die dazugehörige Tabelle findet Ihr im Anhang. Ist dieser Zusammenhang bekannt und gibt es einen Mathematischen Beweis dafür? Meine Ideen: Siehe Anhang
15.02.2022, 14:09	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das Ergebnis ist bekannt: Für ein Polynom $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ vom Grad $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ mit Leitkoeffizient $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ gilt: Es gibt ein Polynom $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ vom Grad $\begin{eqnarray} \leq n-1 \end{eqnarray}$ so dass $\begin{eqnarray} p(x) = a_nx^n + q(x) \end{eqnarray}$ , und damit dann $\begin{eqnarray} p(x+1)-p(x) = a_n\left[ (x+1)^n - x^n\right] +q(x+1)-q(x) = a_n\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k}x^k + q(x+1)-q(x) = na_n x^{n-1} + r(x) \end{eqnarray}$ mit einem Polynom $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ vom Grad $\begin{eqnarray} \leq n-2 \end{eqnarray}$ . Gilt so natürlich nur für $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$ ; im Fall $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ haben wir einfach $\begin{eqnarray} p(x)=a_1x+a_0 \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} p(x+1)-p(x) = 1\cdot a_1 \end{eqnarray}$ und damit keinen Rest $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ mehr. Bildet man auf diese Weise $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -mal hintereinander solche iterierten Differenzen der Polynomfunktion $\begin{eqnarray} x^n \end{eqnarray}$ , so gelangt man schrittweise über $\begin{eqnarray} nx^{n-1} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} n(n-1)x^{n-2} \end{eqnarray}$ usw. nach $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Schritten zum konstanten Polynom $\begin{eqnarray} n! \end{eqnarray}$ . Solche iterierten Differenzen nutzt man beispielsweise bei der Aufstellung von Newtonschen Interpolationspolynomen https://de.wikipedia.org/wiki/Polynomint...sung_mit_Newton .
15.02.2022, 15:50	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann übrigens auch den umgekehrten Weg gehen: Aus der Addition der ungeraden Zahlen bekommt man die Quadratzahlen. Aus der Addition von 1,7,19,37,.. die dritten Potenzen. Mathologer hat dazu einen schönen Beitrag unter dem Titel The Moessner Miracle gemacht.

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