Binomischer Lehrsatz

15.02.2022, 15:43	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Binomischer Lehrsatz Hallo Es gilt den Binomischen Lehrsatz mittels Induktion zu zeigen. Induktionsanfang ist klar: $\begin{eqnarray} \left( x+y\right)^0=1=\sum\limits_{k=0}^{0} \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix} x^{0}\cdot y^0 \end{eqnarray}$ Dann mit dem Induktionsschritt $\begin{eqnarray} \left( x+y\right)^{n+1}=\left( x+y\right) \left( x+y\right)^{n} \end{eqnarray}$ Mit Induktionsvorraussetzung gilt: $\begin{eqnarray} \left( x+y\right) \left( x+y\right)^{n}=<br /> \left( x+y\right) \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix}n\\ k \end{pmatrix} x^{n-k}\cdot y^k \end{eqnarray}$ und weiter weiß ich leider nicht...
15.02.2022, 15:47	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ die Summe ist, dann kannst du über $\begin{eqnarray} (x+y)s = xs + ys \end{eqnarray}$ zwei Summen draus machen, die du aber (nach den Monomtermen $\begin{eqnarray} x^{n+1-k}y^k \end{eqnarray}$ gruppiert) wieder zu einer Summe über $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ zusammenfassen kannst - an beiden Indexenden muss man etwas aufpassen.
17.02.2022, 15:30	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir hatten in einer Teilaufgabe zuvor bewiesen, dass $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n+1\\ k \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n\\ k-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mir scheint dass muss ich hier irgendwie einbauen, oder? ich glaube nämlich jetzt mit dem Tipp den richtigen Beweis gefunden zu haben. Dankeschön!
17.02.2022, 15:33	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, durch die notwendige Indexverschiebung in einer der beiden Teilsumme kommt man dann zwangsläufig zu der Binomialkoeffizientensumme $\begin{eqnarray} \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} \end{eqnarray}$ , die man mit der von dir eben genannten Identität dann zu $\begin{eqnarray} \binom{n+1}{k} \end{eqnarray}$ zusammenfassen kann - gewissermaßen der Kern des Induktionsschritts.

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