Tschebyscheffungleichung

16.02.2022, 16:59

15.95

Tschebyscheffungleichung

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich bin ein Mathebegeisterter und Versuche mich derzeit ein wenig mit Stochastik auseinander zu setzen.
Dabei bin ich folgende Aufgabe gestoßen, bei der ich mir aktuell noch nicht weiterhelfen kann:
Man weiß aus Erfahrung, dass Gäste eines Hotels im Schnitt drei Nächte bleiben, und dabei die Varianz gleich 250 beträgt. Nun ist die Aufgabe dabei mittels Tschebyscheff abzuschätzen wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Hotelgast 5 oder mehr Nächte bleibt. Zz. ist nun, dass die Tschebyscheffungleichun nicht weiterhilft.

Meine Ideen:
Aus der Angabe weis ich, dass Mittelwert m= 3 und V(x)= 250.
Des weiteren weiß ich die Tschebyschefungleichung und habe diese wie folgt aufgestellt:
$\begin{eqnarray*} P(|x-m|\geq 2)\leq \frac{V(x)}{2^2} \end{eqnarray*}$

Letztenendes komme ich aber auf eine Wahrscheinlichkeit die größer als 1 ist und somit gegen ein Axiom von Kolmogoroff verstoßt.
Reicht das zu zeigen?

16.02.2022, 17:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von 15.95
und dabei die Varianz gleich 250 beträgt.

Varianz wofür? Für die Anzahl der Übernachtungen? Echt jetzt, so groß?

Das entspricht einer Standardabweichung von knapp 16, was angesichts Erwartungswert 3 ja immens groß ist - muss ja eine extreme Long-Tail-Verteilung sein.

Zitat:

Original von 15.95
hebyschefungleichung und habe diese wie folgt aufgestellt:
$\begin{eqnarray*} P(|x-m|\geq 2)\leq \frac{V(x)}{2^2} \end{eqnarray*}$

Letztenendes komme ich aber auf eine Wahrscheinlichkeit die größer als 1 ist und somit gegen ein Axiom von Kolmogoroff verstoßt.

Nein, kein Verstoß: Niemand behauptet, dass der rechts stehende Quotient eine Wahrscheinlichkeit ist, sondern lediglich, dass das eine OBERE Schranke für die Wahrscheinlichkeit auf der linken Seite ist. Und wenn da rechts ein Wert >1 steht, dann heißt das lediglich, dass die Tschebyscheff-Ungleichung für diesen Parameterfall leider keine zusätzliche Erkenntnis außer der trivialen bringt, dass die Wahrscheinlichkeit links $\begin{eqnarray*} \leq 1 \end{eqnarray*}$ ist. smile

16.02.2022, 17:23

15.07.

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Tschebyscheff
Hierbei nochmal die Aufgabe, und ja leider ist sie so hoch:

Aus bisherigen Erfahrungen weiß man, dass die Hotelgäste im Mittel 3 Nächte
bleiben, wobei die Varianz 250 beträgt. Das Hotelmanagement will die Wahrscheinlichkeit
abgeschätzt haben, dass ein Gast 5 oder mehr Nächte bleibt. Zeigen Sie,
dass eine Abschätzung mit der Tschebyscheff-Ungleichung in diesem Fall zu keiner
befriedigenden Antwort führt.

Das wusst ich noch nicht, dass rechts der Ungleichung der Wert nicht als Wahrscheinlichkeit deklariert werden darf. Ich nehme an, dass ist dann beim Zentralen Grenzwertsatz ebenfalls der Fall?

Nun stimmt aber meine Behauptung nicht... Wie kann ich die Aufgabe dann lösen, mir würde selbst ein Ansatz reichen.

Vielen Dank!

16.02.2022, 17:27

15.07

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RE: Tschebyscheff
Mensch ok ich glaube es hat Klick gemacht...!

Wenn es also nur die triviale Lösung gibt, dann macht natürlich das ganze Konstrukt der Ungleichung keinen Sinn. Tschebyscheff ist ohnehin recht ungenau, aber der maximal Wert <= 1 befriedigt auf keinen Fall.

Ist das die Lösung?

16.02.2022, 17:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von 15.95
Zz. ist nun, dass die Tschebyscheffungleichun nicht weiterhilft.

Achso, das hatte ich erst überlesen - na dann: Mission erfüllt. Augenzwinkern

Mögliche Alternative: Wir können ja davon ausgehen, dass jeder Hotelgast mindestens eine Nacht bleibt, oder? Daher würde ich hier eher die Markow-Ungleichung anwenden, und zwar mit der Funktion $\begin{eqnarray*} h(a)=a-1 \end{eqnarray*}$ .

Allerdings wird dabei $\begin{eqnarray*} V(X)=250 \end{eqnarray*}$ gar nicht genutzt. Vermutlich kann man aus der Kombination $\begin{eqnarray*} E(X)=3,V(X)=250 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} X\geq 1 \end{eqnarray*}$ noch mehr "rausholen" für eine bessere Abschätzung von $\begin{eqnarray*} P(X\geq 5) \end{eqnarray*}$ , aber dazu müsste ich mir nochmal die Karten legen...

Zitat:

Original von 15.07.
Ich nehme an, dass ist dann beim Zentralen Grenzwertsatz ebenfalls der Fall?

Klingt nach einer unpassenden Analogie, was auch immer du genau meinst.

17.02.2022, 10:01

HAL 9000

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Irgendwie fasziniert mich das Problem, wann welche der stochastischen Standardungleichungen hier optimalerweise anzuwenden ist. Daher fasse ich das Problem mal etwas allgemeiner:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die zufällige Anzahl an Hotelübernachtungen, von denen $\begin{eqnarray*} E(X)=3 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} V(X)=\sigma^2 \end{eqnarray*}$ bekannt sein möge. Man schätze die Wahrscheinlichkeit nach oben ab, dass ein Gast fünf oder mehr Nächte bleibt.

Da stellt sich heraus, dass es da qualitativ zwei verschiedene Fälle gibt:

1.Fall: $\begin{eqnarray*} \sigma^2 > 4 \end{eqnarray*}$ :

Hier kann man die Markov-Ungleichung $\begin{eqnarray*} P(X\geq a) \leq \frac{E(h(X))}{h(a)} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} h(t)=t-1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} a=5 \end{eqnarray*}$ anwenden. Gefordert wird $\begin{eqnarray*} h(t)\geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle Werte, die die Zufallsgröße annehmen kann, was hier wegen $\begin{eqnarray*} X\geq 1 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist. Ergebnis ist dann

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 5) \leq \frac{E(X)-1}{5-1} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Dass diese Schranke $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ auch tatsächlich scharf ist, sieht man an folgendem Beispiel: Betrachtet man die auf den drei Zahlen 1, 5 und $\begin{eqnarray*} n\geq \frac{\sigma^2}{2}+3 \end{eqnarray*}$ verteilte Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} P\left(X_n = 1\right) = \frac{4n-6+\sigma^2}{4n-4} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P\left(X_n = 5\right) = \frac{2n-6-\sigma^2}{4n-20} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P\left(X_n = n\right) = \frac{\sigma^2-4}{(n-1)(n-5)} \end{eqnarray*}$ .

so gilt tatsächlich $\begin{eqnarray*} E\left(X_n\right)=3 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} V\left(X_n\right)=\sigma^2 \end{eqnarray*}$ und zudem $\begin{eqnarray*} P\left(X_n \geq 5\right) = 1 - P\left(X_n = 1\right) = \frac{1}{2} - \frac{\sigma^2-4}{4n-4} \to \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ , also tatsächlich scharf.

Bemerkenswert ist, dass die Schrankenabschätzung nicht vom Varianzwert $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \end{eqnarray*}$ abhängt, abgesehen von der grundsätzlichen Fallbedingung $\begin{eqnarray*} \sigma^2 > 4 \end{eqnarray*}$ .

2.Fall: $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \leq 4 \end{eqnarray*}$ :

Hier erweist sich die Cantelli-Ungleichung $\begin{eqnarray*} P(X\geq E(X)+c) \leq \frac{V(X)}{c^2+V(X)} \end{eqnarray*}$ also günstiger, was im vorliegenden Fall mit $\begin{eqnarray*} c=2 \end{eqnarray*}$ dann bedeutet

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 5) \leq \frac{\sigma^2}{4+\sigma^2} \end{eqnarray*}$ .

Auch hier zeigt eine Beispiels-Zufallsgröße die Schärfe dieser Abschätzung, hier ist das einfach die Zweipunktverteilung

$\begin{eqnarray*} P\left(X = 3-\frac{\sigma^2}{2}\right) = \frac{4}{4+\sigma^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(X=5) = \frac{\sigma^2}{4+\sigma^2} \end{eqnarray*}$ .

Das ergibt wieder $\begin{eqnarray*} E(X)=3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V(X)=\sigma^2 \end{eqnarray*}$ und offenbar dann auch die gewünschten $\begin{eqnarray*} P(X\geq 5) = \frac{\sigma^2}{4+\sigma^2} \end{eqnarray*}$ .

Zusammenfassend gilt also $\begin{eqnarray*} P(X\geq 5) \leq \min\left\{ \frac{1}{2}, \frac{\sigma^2}{4+\sigma^2} \right\} \end{eqnarray*}$ , wobei je nach $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \end{eqnarray*}$ -Wert mal die Markow-Ungleichung und mal die Cantelli-Ungleichung den besseren Abschätzungswert liefert.

Die Tschebyscheff-Ungleichung bleibt außen vor, was ihren Wert nicht mindert: Nur ist eben Cantelli für Abschätzungen von $\begin{eqnarray*} P(X-E(X)\geq c) \end{eqnarray*}$ stets die bessere Wahl als der "zweiseitige" Tschebyscheff, der für $\begin{eqnarray*} P\left(|X-E(X)|\geq c\right) \end{eqnarray*}$ passend ist. Augenzwinkern

EDIT: Huch, ich sehe gerade, dass ich im 2.Fall einen Fehler gemacht habe. Mal sehen, ob ihn jemand findet. Big Laugh

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