Grenzwerte der Folgen berechnen

18.02.2022, 07:22

Ingenieur123

Grenzwerte der Folgen berechnen

Meine Frage:
Hallo, ich war vor kurzem mit ein paar Aufgaben beschäftigt und ich wollte euch etwas um die Unterstützung bitten, da ich bei manchen Aufgaben nicht bis zur dem Endergebnis komme.

Meine Ideen:
Ich habe euch paar Screenshots hochgeladen und würde hier unten einfach zur jeder Aufgabe was dazu sagen, was mir halt keine Ruhe gibt.

a) Muss man den letzten Term als den 7/6*2n = 0 , weiter umformen oder kann man nichts mehr machen? Da wenn man für n immer größere Werte eingibt das ganze natürlich sich gegen Null bewegen würde.

d) Da wusste ich halt nicht mehr wie man diesen einen geblieben n wegkriegen könnte, weil ohne das n wäre der Term schon die Lösung.

e) hier wusste ich leider nicht wirklich außer der eine kleine Umformung für Wurzeln nicht wie man da weiter vorgehen könnte.

f) Sieh eigt genauso wie bei e.

Ich hoffe das ist nicht zu viel an Unterstützung die ich benötigen würde.

Ich danke euch vielmals.
Mfg Linas

18.02.2022, 08:22

HAL 9000

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a) Dieses $\begin{eqnarray*} \frac{2}{0} \end{eqnarray*}$ u.ä. in deinen Ausführungen ist natürlich Quatsch. Was du da meinst ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n} = 0 \end{eqnarray*}$ , oder in Kurzschreibweise auch $\begin{eqnarray*} \frac{2}{n}\to 0 \end{eqnarray*}$ wenn klar ist, dass es um den Grenzübergang $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ geht.

Ein übersichtliches Vorgehen bei solchen Brüchen ist folgendes: Man klammert sowohl in Zähler wie Nenner den "dominierenden" Faktor aus - bei Polynomen ist das jeweils die höchste Potenz, im vorliegenden Fall könnte das so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \frac{7n-2}{1+6n+2n^2} = \lim_{n\to\infty} \frac{n\left(7-\frac{2}{n}\right)}{n^2\left(\frac{1}{n^2}+\frac{6}{n}+2\right)} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\cdot \frac{7-\frac{2}{n}}{\frac{1}{n^2}+\frac{6}{n}+2} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\cdot \lim_{n\to\infty} \frac{7-\frac{2}{n}}{\frac{1}{n^2}+\frac{6}{n}+2} \end{eqnarray*}$ .

Letztere Aufspaltung ist dadurch erlaubt, weil beide Teilgrenzwerte existieren: Der linke ist 0, der rechte $\begin{eqnarray*} \frac{7}{2} \end{eqnarray*}$ .

Bei d) begehst du einen Fehler bei dem Rausziehen aus der Wurzel: Tatsächlich ist

$\begin{eqnarray*} \sqrt{5n^2+7n+1} = \sqrt{n^2\left(5+\frac{7}{n}+\frac{7}{n^2}\right)} \stackrel{!}{=} \sqrt{n^2}\cdot \sqrt{5+\frac{7}{n}+\frac{7}{n^2}} = n\cdot \sqrt{5+\frac{7}{n}+\frac{7}{n^2}} \end{eqnarray*}$ .

Bei e) kannst du wieder die von mir empfohlene Technik des Herausziehens des dominierenden Faktors anwenden. Nur dass das diesmal mit einem Produkt $\begin{eqnarray*} n^{\alpha}\cdot \mbox{Bruch} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha>0 \end{eqnarray*}$ sowie konvergentem Bruch mit Grenzwert ungleich Null endet, was im Endeffenkt Divergenz bedeutet.

Bei f) kommt tatsächlich $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ ins Spiel, aber nicht so wie du geschrieben hast: Durch Substitution $\begin{eqnarray*} m=2n \end{eqnarray*}$ ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n+1} = \lim_{m\to\infty} \left(1+\frac{1}{m}\right)^{m+1} = \lim_{m\to\infty} \left(1+\frac{1}{m}\right)\cdot \lim_{m\to\infty} \left(1+\frac{1}{m}\right)^m = 1\cdot e = e \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Deine f)-Umformung $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n+1} \stackrel{???}{=} e^{\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{\ln(2n+1)}} \end{eqnarray*}$ ist falsch. Richtig ist allenfalls $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n+1} = e^{\ln\left(\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n+1}\right)} = e^{(2n+1)\cdot \ln\left(1+\frac{1}{2n}\right)} \end{eqnarray*}$ .

18.02.2022, 20:01

Ingenieur123

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Vielen, vielen Dank für dein Erläuterungen, hat mir sehr geholfen.
Eine Fragen zur d) das was nach dem Ungleich Zeichnen kommt wenn man die Wurzel aus n^2 zieht verschwindet logischerweise das oder? Nur wenn würde ich dann die Wurzeln auch nicht von den anderen Term mitdazu ziehen?

Grüße
Linas

18.02.2022, 20:35

HAL 9000

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ein zu klärendes Missverständnis

Zitat:

Original von Ingenieur123
das was nach dem Ungleich Zeichnen

Dort steht kein Ungleich-Zeichen $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ , sondern ein Gleichheitszeichen $\begin{eqnarray*} \stackrel{!}{=} \end{eqnarray*}$ , auf welches man besondere Aufmerksamkeit richten sollte! Augenzwinkern

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