Abstand von Geraden in euklidischer Ebene

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Ernesto2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abstand von Geraden in euklidischer Ebene
Hallo,
Die Lösung der Aufgabe 1.6 aus dem Buch Lineare Algebra von A. Beutelspacher lässt sich intuitiv durch eine Skizze erahnen. . doch meine Schwierigkeit ist, wie man diese Aufgabe mit dem mathematischen Formalismus lösen kann. Ich vermute dass man über Relationen argumentieren soll.
Bei a) haben wir eine Aequivalenzrelation der zwei parallelen Geraden
Bei b) ist die Transitivität nicht gegeben.
Weiter bin ich nicht gekommen.
Vielen Dank für Eure Unterstützung.

Ernesto2
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ernesto, bitte NICHT eine neue Frage an einen alten Thread anhängen!
Ich werde daher deinen Beitrag zu einem neuen Thema abtrennen.

*** DONE ***

Bitte formuliere die Angaben bzw. deine Frage neu, damit dein Problem erkennbar ist.

Abgetrennt von Abstand von Geraden in euklidischer Ebene

mY+
Ernesto2 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Die Lösung der Aufgabe 1.6 aus dem Buch Lineare Algebra von A. Beutelspacher lässt sich intuitiv durch eine Skizze erahnen.

(a) Zeigen Sie, dass in der gewöhnlichen euklidischen Ebene folgendes gilt:
Wenn drei Punkte einer Geraden g den gleichen Abstand zu einer Geraden g' haben, so haben alle Punkte von g den gleichen Abstand von g'.

(b)Seien g und g' zwei geraden der gewöhnlichen euklidischen Ebene, die nicht parallel sind. Zeigen Sie, dass es zwei Punkte von g gibt, die den gleichen Abstand zu g' habe

Meine Schwierigkeit ist, wie man diese Aussagen mathematisch sauber beweisen kann und auf welchem Parallenaxiom man sich stützen kann. Ich vermute dass man über Relationen argumentieren soll, da Relationen im Buchkapitel besprochen werden.

Bei a) Diese Aussage ist doch ein Parallelenaxiom! Wir können die Aequivalenzrelation von zwei parallelen Geraden nutzen. Somit haben alle Punkte auf der Geraden den gleichen Abstand zur anderen Gerade.
Bei b) ist die Transitivität nicht gegeben.

Weiter bin ich nicht gekommen. Vielen Dank für Eure Unterstützung.
Und danke an mYthos für die Starthilfe bei meiner ersten Frage in diesem Forum.

Ernesto2
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage a) ist mit dem Parallelenaxiom zu beantworten, richtig!

Nimmt man zunächst nur 2 Punkte auf der Geraden g an, so besteht noch die Möglichkeit. dass g' die Gerade g schneidet und dabei die beiden Abstände zwar absolut gleich, aber verschieden orientiert sind (sh. Frage b).
Dabei befinden sich die beiden Punkte auf verschiedenen Seiten auf g vom Schnittpunkt aus gesehen.
Kommt nun ein dritter Punkt auf der Geraden g hinzu, sind mindestens 2 Punkte auf der gleichen Seite mit gleich orientierten Abständen.
Somit können sich g und g' nicht mehr schneiden, alle 3 Punkte haben den gleichen (orientierten) Abstand und g und g' sind nach dem Parallelenaxiom parallel.

b)
Hier kann man mit dem Kongruenz-Axiom argumentieren!
Schnittwinkel, der rechte Winkel und der (absolute) Abstand sind gleich ....

mY+
Ernesto2 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Hilfe!
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