Trigonometrische Grenzwerte berechnen

19.02.2022, 14:46	Ingenieur123	Auf diesen Beitrag antworten »
Trigonometrische Grenzwerte berechnen Meine Frage: Hallo, ich bin gerade dabei mit einigen Grenzwerten Aufgaben beschäftigt, aber irgendwie komme ich da nicht auf Ergebnis Bei Grenzwerten Berechnung und vor allem wenn da noch Trigonometrische Funktionen dazukommen, bin ich noch so geübt. Vielleicht könnte sich da meine Herangehensweise anschauen und mir ein Tipps geben. Wäre ich euch sehr Dankbar. Meine Ideen: Meinen Versuch an die Aufgaben seht ihr in den Screenshots die ich hochgeladen habe. Das was ich rot geschrieben habe ist das was rauskommen sollte. ach und mir ist noch was eingefallen, weil ich es noch gerade bei einer andere Aufgaben gesehen habe, wenn da steht limes x -> 0 + 0 was bedeutet denn dieser zusätzlicher 0?
19.02.2022, 15:13	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Grenzwerte berechnen Bei a) ist in der 2. Zeile (nach L'Hospital) das Problem 0/0 weg, weshalb Du dort direkt $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ einsetzen kannst. Die weiteren Zeilen sind dann überflüssig und hier gar z. T. ominös.
19.02.2022, 15:16	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrische Grenzwerte berechnen Bei der b) hast Du sowohl Zähler als auch Nenner falsch (getrennt) abgeleitet.
19.02.2022, 15:29	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu a): Der Weg ist voller Fehltritte. 1. Zeile: 0/0 ist ein informeller Ausdruck. Man kann ihn verwenden, um eine Aussage über den Typus eines Terms bei einem Grenzübergang zu beschreiben, in einer Rechnung hat er jedoch nichts verloren. alle folgenden Zeilen: Gleichheitszeichen fehlen 2. Zeile: Von der ersten zur zweiten Zeile wurde offenbar L'Hospital verwendet. Schon in der zweiten Zeile kann der Grenzwert abgelesen werden. Alle folgenden Umformungen sind überflüssig. 3. Zeile: Das Minuszeichen ist falsch. 4. Zeile: Es ist verboten, in einem Teil eines Terms zum Grenzwert überzugehen, und den andern Teil des Terms in Abhängigkeit von der Variablen zu belassen. 6. Zeile: Überflüssige und fehlerhafte Anwendung einer trigonometrischen Formel. Korrekt wäre: $\begin{align} \cos^2(5x) = \frac{1}{2} \left( 1 + \cos(10x) \right) \end{align}$ . Das $\begin{align} \cdot 5x \end{align}$ , das da nachklappert, ist jedenfalls völlig sinnfrei. Und der Wert $\begin{align} \frac{3}{5} \end{align}$ ergibt sich keinesfalls aus dem Vorigen. Ich hätte es einfach so gemacht. Im ersten Schritte hätte ich durch Substitution von $\begin{align} x \end{align}$ durch $\begin{align} x + \pi \end{align}$ den Grenzübergang $\begin{align} x \to \pi \end{align}$ durch den Grenzübergang $\begin{align} x \to 0 \end{align}$ ersetzt. Das ist angenehmer: $\begin{align} \lim_{x \to \pi} \frac{\sin(3x)}{\tan(5x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin \left( 3(x+\pi) \right)}{\tan \left( 5(x+\pi) \right)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin \left( 3x + 3 \pi \right)}{\tan \left( 5x + 5 \pi \right)} = \lim_{x \to 0} \left( - \frac{\sin(3x)}{\tan(5x)} \right) \end{align}$ Und jetzt führt man das durch geschicktes Erweitern auf bekannte Grenzwerte zurück: $\begin{align} = - \lim_{x \to 0} \left( \frac{\frac{\sin(3x)}{3x}}{\frac{\tan(5x)}{5x}} \cdot \frac{3}{5} \right) = - \frac{3}{5} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin(3x)}{3x}}{\frac{\tan(5x)}{5x}} = - \frac{3}{5} \end{align}$

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