Stellenanzahl nach Potenzieren

19.02.2022, 15:36	Gast19022022	Auf diesen Beitrag antworten »
Stellenanzahl nach Potenzieren Meine Frage: Hallo zusammen, ich bin auf der Suche nach einem Beweis für die Anzahl an Stellen, die eine Zahl mit beliebig vielen Stellen nach dem Potenzieren hat. Meine Ideen: Meine Grundidee war von den jeweils kleinsten k-stelligen Zahlen auszugehen, also beispielsweise für k=2 wäre das 10 und somit verallgemeinert 10^k-1, und dann die Anzahl an Stellen für k=n und k=n+1 zu bestimmen. Da alle n stelligen Zahlen nach dem Potenzieren logischerweise von der Stellenanzahl her zwischen der kleinsten n stelligen und der kleinsten n+1 stelligen Zahl liegen müssen hätte ich dadurch meine Antwort.
19.02.2022, 18:16	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe das nicht verstanden, was du meinst.
19.02.2022, 18:41	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich Gast richtig verstehe, hat er eine Zahl $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ Ziffern und ihn interessiert wie viele Ziffern $\begin{eqnarray} n^d \end{eqnarray}$ für ein natürliches $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ hat. Die Idee war, dass dann $\begin{eqnarray} 10^{k-1} \leq n < 10^{k} \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} 10^{(k-1)\cdot d} \leq n^d < 10^{k\cdot d} \end{eqnarray}$ gilt. Womit $\begin{eqnarray} n^d \end{eqnarray}$ zwischen $\begin{eqnarray} (k-1)\cdot d + 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} k\cdot d \end{eqnarray}$ Stellen hätte. Und ja, das wäre dann korrekt.
19.02.2022, 18:48	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls es um Zahlen mit sehr große Stellenzahlen geht (z.B. die den Wertebereich der TR übersteigen), und man es etwas genauer wissen möchte, dann könnte auch folgendes helfen: Die Anzahl Dezimalstellen einer positiven ganzen Zahl $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ist gleich $\begin{eqnarray} \left\lfloor\lg\left(n\right)\right\rfloor+1 \end{eqnarray}$ . Für die Potenz kann man dann die Logarithmenregeln nutzen, d.h. $\begin{eqnarray} \left\lfloor\lg\left(n^d\right)\right\rfloor+1 = \left\lfloor d\cdot\lg\left(n\right)\right\rfloor+1 \end{eqnarray}$ .

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