Binomische Formeln, Umformung

20.02.2022, 14:03

Hans12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Binomische Formeln, Umformung

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich verstehe eine Umformung nicht (siehe Anhang)

(x²-y²)^-1 wird zu (x+y)²

Weshalb ist das so? Wenn ich (x²-y²)^-1 umforme, würde daraus 1/(x²-y²) werden.
Kann jemand den Schritt erläutern, wie man daraus "(x+y)²" macht? Danke!

Meine Ideen:
s.o.

20.02.2022, 14:08

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, $\begin{align*} \left( x^2 - y^2 \right)^{-1} \end{align*}$ wird zu $\begin{align*} \frac{1}{x^2 - y^2} = \frac{1}{(x+y)(x-y)} \end{align*}$ . Und $\begin{align*} \frac{1}{(y+x)^{-2}} \end{align*}$ wird zu $\begin{align*} (x+y)^2 \end{align*}$ . So herum ist es.

20.02.2022, 14:28

Hans12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Nein, $\begin{align*} \left( x^2 - y^2 \right)^{-1} \end{align*}$ wird zu $\begin{align*} \frac{1}{x^2 - y^2} = \frac{1}{(x+y)(x-y)} \end{align*}$ . Und $\begin{align*} \frac{1}{(y+x)^{-2}} \end{align*}$ wird zu $\begin{align*} (x+y)^2 \end{align*}$ . So herum ist es.

Hallo,

vielen Dank.
Dann verstehe ich diesen Schritt nicht:

$\begin{align*} \frac{1}{(x+y)(x-y)} \end{align*}$ . -> $\begin{align*} \frac{1}{(y+x)^{-2}} \end{align*}$ wird zu $\begin{align*} (x+y)^2 \end{align*}$ .

Könntest Du das noch mit allen Zwischenschritten darstellen?
Sind $\begin{align*} \frac{1}{(x+y)(x-y)} \end{align*}$ und $\begin{align*} \frac{1}{(y+x)^{-2}} \end{align*}$ dasselbe?

Warum wird der Exponent positiv bei $\begin{align*} \frac{1}{(y+x)^{-2}} \end{align*}$ = $\begin{align*} (x+y)^2 \end{align*}$ ?

Vielen Dank!

20.02.2022, 16:12

Bürgi

Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Tag,

ich springe mal ein - und bin auch gleich wieder weg:

$\begin{eqnarray*} \frac1{(x+y)^{-2}}=\frac{1}{\left((x+y)^{2} \right)^{-1}}=\frac{1}{\frac{1}{(x+y)^{2}}}=(x+y)^2 \end{eqnarray*}$

Wink

Wink

22.02.2022, 08:14

Hans12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Bürgi
Guten Tag,

ich springe mal ein - und bin auch gleich wieder weg:

$\begin{eqnarray*} \frac1{(x+y)^{-2}}=\frac{1}{\left((x+y)^{2} \right)^{-1}}=\frac{1}{\frac{1}{(x+y)^{2}}}=(x+y)^2 \end{eqnarray*}$

Wink

Wink

Hallo,

super, das habe ich jetzt verstanden!

Könntest Du mir auch noch erklären, ob
Sind 1/(x+y)(x−y) und 1/(y+x)−2 dasselbe sind (s.o.)? Vielen Dank!

22.02.2022, 08:55

Hans12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

super, das habe ich jetzt verstanden!

Könntest Du mir auch noch erklären, ob
1/(x+y)(x−y) und 1/(y+x)−2 dasselbe sind (s.o.)? Vielen Dank!

Anzeige

22.02.2022, 09:26

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist auch im Nachtrag nicht lesbar.

Du meinst ob

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x+y)(x-y)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x+y)^{-2}} \end{eqnarray*}$

dasselbe ist?

Nein. Schau doch hier die Antworten an. Wie Bürgi nochmals ausführlich hingeschrieben hat, ist

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x+y)^{-2}} = (x+y)^2 \end{eqnarray*}$

Leopold hatte schon drauf hingewiesen:

Zitat:

Original von Leopold
Nein, $\begin{align*} \left( x^2 - y^2 \right)^{-1} \end{align*}$ wird zu $\begin{align*} \frac{1}{x^2 - y^2} = \frac{1}{(x+y)(x-y)} \end{align*}$ .

Weiter kann man da nichts machen.

23.02.2022, 13:25

Hans12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Equester
Das ist auch im Nachtrag nicht lesbar.

Du meinst ob

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x+y)(x-y)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x+y)^{-2}} \end{eqnarray*}$

dasselbe ist?

Nein. Schau doch hier die Antworten an. Wie Bürgi nochmals ausführlich hingeschrieben hat, ist

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x+y)^{-2}} = (x+y)^2 \end{eqnarray*}$

Leopold hatte schon drauf hingewiesen:

Zitat:

Original von Leopold
Nein, $\begin{align*} \left( x^2 - y^2 \right)^{-1} \end{align*}$ wird zu $\begin{align*} \frac{1}{x^2 - y^2} = \frac{1}{(x+y)(x-y)} \end{align*}$ .

Weiter kann man da nichts machen.

Hallo,

besten Dank. Ich habe nochmal versucht, das nachzuvollziehen.

Nach den binomischen Formeln wird (a + b)² = a² + 2ab + b²;
analog würde ich vermuten, dass

(y + x)² =y² +2yx+x² ergibt.

Im ersten Nenner steht (y + x)-², welches ich umformen würde zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x+y)^{2}} = (x+y)^2 \end{eqnarray*}$ , was logischerweise $\begin{eqnarray*} (x+y)^2 \end{eqnarray*}$ ergibt. Wenn ich das ausmultipliziere, müsste doch dann $\begin{eqnarray*} (y + x)² =y² +2yx+x² \end{eqnarray*}$ herauskommen (s.o.) in der Beispielrechnung wird jedoch $\begin{eqnarray*} (y + x)(x-y) \end{eqnarray*}$ daraus. Kann mir jemand das erklären? Danke!

23.02.2022, 13:28

Hans12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich habe es, glaube ich gelöst, es ist nämlich nur der Zwischenschritt zur kompletten Auflösung smile

smile

23.02.2022, 14:01

Hans12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Nein, $\begin{align*} \left( x^2 - y^2 \right)^{-1} \end{align*}$ wird zu $\begin{align*} \frac{1}{x^2 - y^2} = \frac{1}{(x+y)(x-y)} \end{align*}$ . Und $\begin{align*} \frac{1}{(y+x)^{-2}} \end{align*}$ wird zu $\begin{align*} (x+y)^2 \end{align*}$ . So herum ist es.

was ich noch nicht verstehe ist, wie aus $\begin{align*} \left( x^2 - y^2 \right)^{-1} \end{align*}$
$\begin{align*} \left( x+ y\right)^2 \end{align*}$ wird. Warum wird aus Minus Plus??

23.02.2022, 14:03

Hans12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Nein, $\begin{align*} \left( x^2 - y^2 \right)^{-1} \end{align*}$ wird zu $\begin{align*} \frac{1}{x^2 - y^2} = \frac{1}{(x+y)(x-y)} \end{align*}$ . Und $\begin{align*} \frac{1}{(y+x)^{-2}} \end{align*}$ wird zu $\begin{align*} (x+y)^2 \end{align*}$ . So herum ist es.

was ich noch nicht verstehe ist, wie aus $\begin{align*} \left( x^2 - y^2 \right)^{-1} \end{align*}$
$\begin{align*} \left( x+ y)^2 \right) \end{align*}$ wird. Warum wird aus Minus Plus??

23.02.2022, 14:06

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Nein, $\begin{align*} \left( x^2 - y^2 \right)^{-1} \end{align*}$ wird zu $\begin{align*} \frac{1}{x^2 - y^2} = \frac{1}{(x+y)(x-y)} \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Leopold
Und $\begin{align*} \frac{1}{(y+x)^{-2}} \end{align*}$ wird zu $\begin{align*} (x+y)^2 \end{align*}$ . So herum ist es.

Verstehe nicht ganz was dein Problem ist. Es steht hier oft genug drin. Der erste Kasten und der zweite Kasten haben nichts miteinander zu tun und es geht um zwei einzelne Ausdrücke, die getrennt voneinander umgeformt werden.
Kannst du nochmals die Luft rauslassen und das in Ruhe auf dich wirken lassen? Gib Bescheid, ob es dann Klick gemacht hat Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

23.02.2022, 14:25

Hans12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich habe mir die Artikel zu den binomischen Formeln nochmals durchgelesen

Was ich nicht verstehe, ist die Umwandlung von

$\begin{align*} \frac{1}{x^2 - y^2} = \frac{1}{(x+y)(x-y)} \end{align*}$

zu

$\begin{align*} (x+ y)^2 \end{align*}$

in der angehängten Grafik. Warum wird dort aus Minus Plus, bzw. warum wird es NICHT zu $\begin{align*} (x- y)^2 \end{align*}$ ? Ich vermute, dass ich hier irgendwo einem dämlichen Denkfehler unterliege und bitte daher nochmals um Hilfe.

23.02.2022, 15:05

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Hans12345678
... und bitte daher nochmals um Hilfe.

Nicht gewährt. Jedenfalls nicht von mir.
Alles, wonach du fragst, ist bereits erklärt worden, von mir, von Bürgi und von Equester. Du mußt das einfach mal richtig lesen und verarbeiten.

23.02.2022, 15:06

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Das passiert doch überhaupt nicht. Vielmehr ist
$\begin{eqnarray*} \frac{\textcolor{red}{(x^2-y^2)^{-1}}}{\textcolor{blue}{(y+x)^{-2}}} = \frac{\textcolor{blue}{(x+y)^{2}}}{\textcolor{red}{(x+y)(x-y)}}<br /> \end{eqnarray*}$

24.02.2022, 07:59

Hans12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke auch dafür. Ich verstehe allerdings immernoch nicht, warum im Zähler aus Minus Plus wird.

24.02.2022, 08:01

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal, das passiert nicht. Der Zähler des ersten Bruches wandert in den Nenner des zweiten Bruches.

24.02.2022, 10:32

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

@ URL
Ich bewundere dein Nervenkostüm und harre des Augenblicks, bis auch du die Waffen streckst.

24.02.2022, 13:39

Hans12345678

Auf diesen Beitrag antworten »

so, jetzt habe ich es verstanden, danke dafür. Grund dafür ist vermutlich nur, dass man mit dem Kehrwert multipliziert?

28.02.2022, 18:19

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Tragödie zweiter Teil: https://www.onlinemathe.de/forum/einfach...mischen-Formeln

Ist tatsächlich dieselbe Person, man sollte es nicht für möglich halten.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »