Komplexes Integral: Wo ist der Fehler?

21.02.2022, 22:58	EinfachLila	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexes Integral: Wo ist der Fehler? Hallo, ich sitze gerade an einer Übungsaufgabe und kam gut voran, bis ich meine Ergebnisse mit der Lösung verglich . Ich kann die Lösung meines Dozenten nicht nachvollziehen und da er mit dem Ergebnis weiterrechnet vermute ich, dass der Fehler bei mir liegt. Ich habe die Aufgabe, wie sie auf meinem Blatt steht in Latex übersetzt und hoffe jemand findet meinem Fehler. Allgemein: i = Imaginäre Einheit n = Ganze Zahl ohne 0 $\begin{eqnarray} \frac{1}{2 \pi}(\int_{-\pi}^{0}-2e^{-inx}dx+\int_{0}^{\pi}2e^{-inx}dx) \end{eqnarray}$ \| Faktorregel $\begin{eqnarray} \frac{1}{2 \pi}(-2\int_{-\pi}^{0}e^{-inx}dx+2\int_{0}^{\pi}e^{-inx}dx) \end{eqnarray}$ \| -2 ausklammern $\begin{eqnarray} \frac{-2}{2 \pi}(\int_{-\pi}^{0}e^{-inx}dx-\int_{0}^{\pi}e^{-inx}dx) \end{eqnarray}$ \| Stammfunktionen bilden $\begin{eqnarray} \frac{-1}{\pi}(\left[\frac{1}{-in}e^{-inx}\right]_{-\pi}^0 - \left[\frac{1}{-in}e^{-inx}\right]_{0}^\pi) \end{eqnarray}$ \| Faktorregel $\begin{eqnarray} \frac{1}{in\pi}(\left[e^{-inx}\right]_{-\pi}^0 - \left[e^{-inx}\right]_{0}^\pi) \end{eqnarray}$ \| Grenzen einsetzen $\begin{eqnarray} \frac{1}{in\pi}((e^{in0}-e^{in\pi})-(e^{-in\pi}-e^{-in0})) \end{eqnarray}$ \| e^0 = 1 $\begin{eqnarray} \frac{1}{in\pi}(1-e^{in\pi}-e^{-in\pi}+1) \end{eqnarray}$ \| Komplexe Zahl in NF darstellen $\begin{eqnarray} \frac{1}{in\pi}(1-(cos(n\pi)+isin(n\pi))-(cos(n\pi)-isin(n\pi))+1) \end{eqnarray}$ \| Klammer auflösen $\begin{eqnarray} \frac{1}{in\pi}(1-cos(n\pi)-isin(n\pi)-cos(n\pi)+isin(n\pi)+1) \end{eqnarray}$ \| sin: Pi-Vielfache immer 0 Meine Lösung: $\begin{eqnarray} \frac{2-2cos(n\pi)}{in\pi} \end{eqnarray}$ Lösung im Skript: $\begin{eqnarray} -i\frac{cos(n\pi)}{n\pi} \end{eqnarray}$
22.02.2022, 00:34	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnte es sein, dass die -2 am Anfang bereits falsch ist? Die Darstellung erinnert zumindest stark an die Fourrierreihe und da wäre ein solcher Vorzeichenwechsel nicht vorhanden.
22.02.2022, 09:05	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn das Zeitsignal anscheinend eine Rechteckschwingung ist (daher links -2 und rechts +2), ist Deine Lösung korrekt. Der Dozent dagegen erhält einen Sägezahn. Viele Grüße Steffen
22.02.2022, 16:10	EinfachLila	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für eure Rückmeldungen. Ja, es handelt sich tatsächlich um eine Fourieraufgabe (mit Rechteckschwingung im Zeitbereich). Ich darf die -2 bei Fourier nicht ausklammern?
22.02.2022, 16:18	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie gesagt, Du hast alles richtig gemacht. Die Musterlösung ist falsch.
22.02.2022, 16:46	EinfachLila	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar. Ich habe noch eine Frage zum Spektrum dieser Aufgabe. Das ist laut meinen Unterlagen, der Betrag des komplexen Koeffizienten. Also: Für n ungleich 0: $\begin{eqnarray} \|\frac{2-2cos(n\pi)}{jn\pi}\| = \frac{\|2-2cos(n\pi)\|}{\|jn\pi\|} = \frac{2-2\|cos(n\pi)\|}{\| n \|\pi} = \frac{2-2\|(-1)^{n}\|}{\| n \|\pi} = \frac{2-21}{\| n \|\pi} = 0 \end{eqnarray*}$ Alle 0? Ist das möglich?
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22.02.2022, 17:00	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Vorsicht! Der Betrag einer Differenz ist nicht unbedingt die Differenz der Beträge!
22.02.2022, 18:22	EinfachLila	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Steffen und Helferlein!

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