Ordnung von Restklassengruppen |
| 23.02.2022, 08:57 | chaii | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Ordnung von Restklassengruppen Konkret geht es um die Gruppe Z/4Z x Z/6Z. Wie bestimme ich hier die Gruppenordnung? Und etwas allgemeiner formuliert: Wie kann ich die Gruppenordnung einer Gruppe Z/nZ x Z/mZ mit n und m nicht teilerfremd bestimmen? Meine Ideen: Was ich bisher weiß ist, dass eine Gruppe Z/nZ x Z/mZ mit teilerfremden n und m nach dem Chinesischen Restsatz isomporph zu Z/(nm)Z ist und damit als zyklische Gruppe die Ordnung mn besitzt. Das gilt allerdings ja nur, wenn m und n teilerfremd sind. Da 4 und 6 nicht teilerfremd sind kann ich das hier also nicht verwenden. Auch für Gruppen der Form Z/nZ x Z/nZ kann ich den Chinesischen Restsatz dann nicht verwenden. Aus einem Satz aus der Vorlesung folgt aber zumindest, dass Z/pZ x Z/pZ für p Primzahl die Ordnung p^2 besitzt. Meine Idee war es das ganze nochmal von der Definition der Gruppenordnung her zu versuchen. Die Gruppenordnung ist ja nichts anderes als die Anzahl der Elemente der Gruppe. Bei meinem konkreten Beispiel haben die Elemente doch die Form (a,b) wobei a aus Z/4Z und b aus Z/6Z ist. Für a sind die Werte 0,1,2,3 möglich und für b 0,1,2,3,4,5. Wenn ich dann die Anzahl der möglichen Elemente bestimmen möchte, rechne ich 4*6=24. Das würde ja aber mit dem Chinesischen Restsatz übereinstimmen, der ja nur für teilerfremde n und m gilt... Weitere Idee wäre der kleine Fermat gewesen. Nach diesem Satz müsste die Gruppenordnung doch der Zahl u entsprechen für die u*(a,b)=(0,0) gilt. In meinem konkreten Beispiel wäre das doch das kgV(4,6) also 12? Ich hoffe jemand kann mir da weiterhelfen! Vielen Dank schonmal 
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| 23.02.2022, 11:59 | Finn_ | Auf diesen Beitrag antworten » |
Es gilt schlicht für beliebige Gruppen weil die Trägermenge des direkten Produktes als kartesisches Produkt der Trägermengen der Faktoren definiert ist. Die Teilerfremdheit sagt nichts über die Ordnung aus, sondern, dass das direkte Produkt ebenfalls zyklisch ist. |
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| 23.02.2022, 14:18 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielleicht liegt eine Verwechselung der Begriffe Ordnung einer Gruppe und Ordnung eines Elements vor. Mit dem ersten hat sich gerade Finn_ beschäftigt, die Ausführungen von chaii deuten eher in Richtung auf das zweite. |
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