Komplexe Menge skizzieren

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Felixut984538942 Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Menge skizzieren
Meine Frage:
Hi, ich habe die Menge:

B={z?C: |i-2z|/|z+2i|=1}

Meine Ideen:
Mein problem ist, wie gehe ich mit dem Bruch um?

Muss ich das zum skizzieren irgendwie ausrechnen, also mal den Betrag, dann irgendwie Nullstellen berechnen oder geht das auch ohne?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Multipliziere mit dem Nenner durch und schau hier, wie man weiter vorgehen kann.
chucknurris Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Multipliziere mit dem Nenner durch und schau, wie man weiter vorgehen kann.


Okay danke, bin der Threadersteller, also muss ich multiplizieren und die Nullstellen berechnen? Wenn ja, aber wie zeichne ich dann mit denen später diese Menge? Also was bringen mir die Nullstellen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Was für Nullstellen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Setze

Dann ist der Zähler: |-2x + (1-2y)i|; der Nenner: |x + (y+2)i|

Nachdem du mit dem Nenner multipliziert hast, musst du die Beträge ausrechnen und diese - wegen der Wurzel - quadrieren:



Quadriere nunmehr aus, ordne und normiere die Gleichung (welche Kurve vermutest du?) ...
Die Schnittpunkte mit den Achsen - darunter sind auch die Nullstellen - kann man zur Kontrolle bestimmen, sie sind aber nicht notwendig

[Kontr.: Kreis (M(0 / 4/3); r = 5/3)]

mY+
chucknurris Auf diesen Beitrag antworten »

Edit (mY+): Vollzitat entfernt

danke, aber was meinen Sie mit betrag berechnen? Betrag geht ja mit hoch 2 weg oder? Ist das schon das ausrechnen oder was genau mein t man mit betrag ausrechnen?
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Der Betrag einer komplexen Zahl z = a + bi ist allgemein
Und in unserer Aufgabe ist z.B. der Zähler:
Mit Betrag ausrechnen meinte ich, dass unter der Wurzel die Summe der Quadrate des Real- und des Imaginärteils zu berechnen ist, also dann .

Wenn du nun die Beträge von Zähler und Nenner gleichsetzst, musst du links und rechts quadrieren und erst dann fällt die Wurzel weg.

War's das?
-----------------------

Hinweis: Zur Antwort bitte NICHT den Zitat-Button benützen, das ergibt ein unerwünschtes Vollzitat. Es existiert (unten!) auch eine Antwort-Box.

Übrigens duzen wir uns hier im Forum, ich habe kein Problem damit Augenzwinkern

mY+
chucknurris Auf diesen Beitrag antworten »

Edit (Steffen): Vollzitat entfernt

Vielen Dank, aber warum wird hier: das i nicht mit in die Wurzel genommen? Klar i hoch 2 ist -1, aber müsste man das dann nicht noch damit multiplizieren in der Wurzel?

Und kqnn ich nicht einfach direkt |i-2z| Hoch 2 in die Wurzel Schreiben? Also natürlich so geschrieben i-2a-2bi oder muss man den Zähler zuvor so umformen, wie Sie es gemacht haben, um es in Wurzelschreibweise zu schreiben?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Der Betrag einer komplexen Zahl z = a + bi ist allgemein
...

Lasse dies mal auf dich einwirken! Es werden NUR die Quadrate des Real- und des Imaginärteils in die Wurzel genommen, das i bleibt außen vor!
Dies kann man sich auch in der komplexen Zahlenebene (Gauß'sche Zahlenebene) veranschaulichen:
Der Betrag der komplexen Zahl ist die Länge des Zeigers und ist einfach mittes Pythagoras zu berechnen.

Zitat:
Original von chucknurris
...
... warum wird hier: das i nicht mit in die Wurzel genommen? Klar i hoch 2 ist -1, aber müsste man das dann nicht noch damit multiplizieren in der Wurzel?

Und kqnn ich nicht einfach direkt |i-2z| Hoch 2 in die Wurzel Schreiben? Also natürlich so geschrieben i-2a-2bi oder muss man den Zähler zuvor so umformen, wie Sie es gemacht haben, um es in Wurzelschreibweise zu schreiben?
...

Genau dies wäre wieder der fatale Fehler, denn in diesem Moment rechnest du ja wieder mit i, was für den Betrag zu einem falschen Ergebnis führt!
-----------------------

Und nochmals bitte (!), bitte endlich auch lesen!

Zitat:
Original von mYthos
...
Hinweis: Zur Antwort bitte NICHT den Zitat-Button benützen, das ergibt ein unerwünschtes Vollzitat. Es existiert (unten!) auch eine Antwort-Box.

Übrigens duzen wir uns hier im Forum, ich habe kein Problem damit Augenzwinkern
...

mY+
chucknurris Auf diesen Beitrag antworten »

Okay danke, aber ich fidne z. B. bei deiner Lösung das i auch nicht außerhalb, wo haben Sie das außen reingepackt?

(und sorry, dachte wegen ------, dass das die Signatur sei, was da unten kam und habe das deshalb nicht beachtet.=
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Das Missverständnis ist wohl, dass Du glaubst, der Betrag einer komplexen Zahl wäre einfach das Quadrat dieser Zahl. Das ist aber nicht so.

Viele Grüße
Steffen
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Oder er glaubt, der Betrag von müsste sein. Beides ist falsch, es ist (wie schon mehrfach erwähnt) .
chucknurris Auf diesen Beitrag antworten »

also eig ist es ja so z. B. 5+i wäre ja Wurzel(5^2+1^2) da i=0+1*i

aber hier habe ich ja i-2z, daeshalb habe ich mich halt gefragt warum i nicht mit reinkommt oder wo es genau ist
chucknurris Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
müsste sein. Beides ist falsch, es ist (wie schon mehrfach erwähnt) .



Nein, das ist mir klar |z|=Wurzel(a^2+b^2)

aber hier habe ich ja |i-2z|

2z kann man als 2*Wurzel(a^2+b^2) sehen, aber |i| ist doch eigentlich Wurzel(1^2), was natürlich wieder 1 wäre, aber warum tue ich das nicht mit in die Wurzel von |2z|
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei wie in der Rechnung von mYthos musst du so zusammenfassen: Alles reelle in einen Term, alles imaginäre in den anderen Term.



Vermutlich ist es das Problem ist, was schon öfter hier im Forum zu beobachten war: Die manchmal notwendige Multiplikation mit einer "nahrhaften" 1 vor dem Ausklammern begreifen viele Leute nicht, wie hier bei diesem geschehen.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von chucknurris
aber hier habe ich ja |i-2z|
...
|i| ist doch eigentlich Wurzel(1^2), was natürlich wieder 1 wäre, aber warum tue ich das nicht mit in die Wurzel von |2z|


Weil der Betrag einer Differenz nicht die Differenz der Beträge ist! Du musst zuerst alle Real- und Imaginärteile im Betrag sauber voneinander trennen und zusammenfassen. Erst dann darfst Du den Betrag berechnen.
chucknurris Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das richtig umgeformt?
Jj
chucknurris Auf diesen Beitrag antworten »

Achse, dann hat sich meine andere Frage auch geklärt
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ist das richtig umgeformt?
(Ich hab Deinen neuen Thread hierher verschoben.)

Zitat:
Original von chucknurris
Wenn man hat
|i-2zl
und eine komplexe Zahl ist als z=a+bi definiert, dann ist |i-2zl umgeschrieben
|Wurzel(1^2)-2Wurzel(a^2+b^2)l


Nein, wie gesagt. Erst innerhalb der Betragsstriche umformen:



Dann weiter.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von chucknurris
Okay danke, aber ich fidne z. B. bei deiner Lösung das i auch nicht außerhalb, wo haben Sie das außen reingepackt?
....

Das i wird nirgends außen reingepackt, ganz im Gegenteil, es wird weggelassen, denn es wird nur mit dem Imaginärteil (y) weitergerechnet!
---------
So hoffe ich, dass nach der langen Diskussion nun endlich Klarheit in die Berechnung der Beträge gekommen ist.
Kannst du nun weitermachen?
Welche Gleichung in x und y ergibt sich letztendlich und wie sieht der deren Graph aus?
Dieser Graph wird von den Spitzen aller komplexen Zeiger beschrieben, die der angegebenen komplexen Gleichung genügen.

mY+
chucknurris Auf diesen Beitrag antworten »

Ach jetzt! Danke, also kommt
-3x^2+3+8y-3y^2=0 raus oder, also wenn ich komplett umforme und zusammenfasse.
Aber wie zeichne ich das nun?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Dividiere die Gleichung durch -3 und führe für die y-Glieder eine quadratische Ergänzung durch, so daß du auf die Form



kommst.
chucknurris Auf diesen Beitrag antworten »

Danke hat alles geklappt, bei uns ist es zudem so, dass wir immer die Form |z-z0|=r oder auch
|z-z0|<=r etc. schreiben, das bekommt man auch hin.

Aber waren diese ganzen Umformungen überhaupt nötig?

Also war es nötig, dass man dies alle smacht, also erst umformen, dann ausmultiplizieren, dann quadratische Ergänzung und dann in die Betragsstriche, das ist doch sehr umfangreich, geht das nicht kürzer? kann ich nicht noch schneller zu: |z-z0|<=r
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

|z - z0| = r ist die vektorielle Form der Kreisgleichung, mit dem Mittelpunkt z0.

Die Gleichung in der Angabe ist jedoch eine Betragsgleichung.
Da innerhalb der Betragszeichen keine Vektoren stehen, sondern komplexe Zahlen, wäre das sofortige Quadrieren deshalb falsch.
Denn es gilt NICHT: , wenn komplexe Zahlen sind.

Ein Unterschied besteht bei reellen Vektoren, denn dabei gilt: , wobei auf der linken Seite das Skalarprodukt steht.

Also muss man sich von Anfang an erst zu der vektoriellen Form hinarbeiten.
Und das bedeutet, man muss denselben Weg gehen, wie er schon in den vorigen Beiträgen gezeigt wurde.

mY+
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