Extremwertproblem: Umzäunungsaufgabe

24.02.2022, 10:33

Conny_1729

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Extremwertproblem: Umzäunungsaufgabe

Hallo Zusammen,

mit folgender Hausaufgabe plage ich mich gerade ab:

Die vier Geschwister Arne, Ben, Claus und Dennis wollen für ihr Kaninchen eine Umzäunung bauen und einigen sich darauf, dass jeder vom ersparten Taschengeld ein Stück Zaunelement beim Baumarkt kauft. So geschieht es und jeder kauft ein Zaunelement von 40 Zentimeter Höhe mit folgenden Längen:

A = 160 cm
B = 190 cm
C = 130 cm
D = 80 cm

Im Garten tüfteln die Geschwister, wie sie mit den verschieden langen Elementen ein maximales Areal umzäunen können. Nach stundenlangem Grübeln kommen sie der Lösung mit der Gesamtfläche 18000 cm^2 sehr nahe. Plötzlich kommt die Tochter der Nachbarn, Emilia, bei ihnen vorbei und behauptet:

„Ihr seid mir ja Experten. Warum habt ihr euer Taschengeld nicht zusammengelegt und zusammen vier gleichlange Zaunelemente der Länge 140 cm gekauft? Dann hättet ihr ein schönes Quadrat mit der Maximalfläche 19600 cm^2 bekommen. Na ja, das ist eben der Unterschied zwischen euch Praktikern und einer Theoretikerin, wie ich es bin. Ihr vergeudet ja wahrscheinlich gerne Zeit und eure Ressourcen.“, prahlt Emilia. Dann fügt sie noch hinzu: „Aber ich will nicht so sein. Im Keller habe ich noch ein altes Zaunelement derselben Höhe zu stehen. Das ist 180 cm lang. Das könnt ihr geschenkt haben.“

Somit stecken die Geschwister einen neuen Zaun zusammen, der jetzt aus 5 Elementen besteht. Sie bastelten so lange daran herum bis sie ihre bisherige Fläche mehr als verdoppeln konnten.

Frage: Welche Fläche hätten sie maximal mit diesem zusätzlichen Element der Länge E = 180 cm umzäunen können? verwirrt

verwirrt

Hilfe

24.02.2022, 11:26

G240222

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RE: Extremwertproblem: Umzäunungsaufgabe
x= Länge
y = Breite

U= 2*(x+y) =540+180= 720
x+y= 360

y= ...

einsetzen in:

A(x) = x*y

Berechne: A'(x)= 0

24.02.2022, 11:51

Conny_1729

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RE: Extremwertproblem: Umzäunungsaufgabe
Erstaunt2

Erstaunt2

Und was hat dein Lösungsansatz mit einer 5-eckigen Zaunumgrenzung zu tun???

Wir haben hier kein "Easy"-Rechteck vorliegen, sondern das Flächenproblem eines Polygons mit 5 verschiedenen Seitenlängen. Und wie man sich vorstellen kann, ist dieses Polygon bzgl. des inneren Flächeninhalts ziemlich beweglich.

Gruß Conny

24.02.2022, 12:28

G24022

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RE: Extremwertproblem: Umzäunungsaufgabe
Von einer bestimmten Form war nicht die Rede.
Ich ging von einem Holzzaun aus, dessen Teile man zurechtsägen könnte.

24.02.2022, 12:35

Steffen Bühler

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RE: Extremwertproblem: Umzäunungsaufgabe
Willkommen im Matheboard!

Nein, sie "stecken ja einen Zaun zusammen".

Mir fällt momentan auch nichts besseres ein, als fünf Koordinatenpaare zu wählen, fünf Formeln mit den pythagoräischen Abständen aufzustellen sowie mit der Trapezformel die Fläche "irgendwie" zu maximieren. Eventuell ginge auch was über die Diagonalen.
Andererseits wird ja auch "Herumbasteln" erwähnt. Vielleicht gehört ja doch Sägen dazu...

Viele Grüße
Steffen

24.02.2022, 12:43

HAL 9000

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@Conny_1729

Und das ist allen Ernstes eine Schulaufgabe? geschockt

geschockt

Eine Vorüberlegung zum Problem: Betrachten wir ein Fünfeck mit maximalen Flächeninhalt. Dann können wir beliebige zwei Nachbarseiten gegeneinander austauschen, ohne dass sich der Flächeninhalt ändert. Das können wir nun beliebig oft tun woraus folgt, dass wir bereits mit einer beliebig festgelegten Seitenreihenfolge das Flächenmaximum erreichen können. Außerdem ist gewiss, dass dieses maximale Fünfeck konvex sein muss.

P.S.: Wenn "Sägen" erlaubt wäre, dann ist es optimal, das in unzählige kleine Stückchen zu sägen und dann einen Kreis zu basteln mit Flächeninhalt

$\begin{eqnarray*} A = \frac{u^2}{4\pi} \approx 43577~cm^2 \end{eqnarray*}$ . Big Laugh

Big Laugh

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24.02.2022, 13:03

Conny_1729

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RE: Extremwertproblem: Umzäunungsaufgabe
Die Aufgabe ist für den Fall gestellt worden, dass die Zaunelemente (5 Stück) so verbleiben wie sie sind. Ansonsten könnte man beim "Herumbasteln/Zersägen" theoretisch auch den Fall annehmen, dass man sie in unendlich kurze Stücke unterteilt und dann eine geschlossene Kurve ("Kette") mit dem Umfang 720cm erhält. Lösung wäre dann die Kreisfläche mit diesem Umfang, also quasi A = (360cm)^2/Pi. Danach ist aber nicht gesucht!!!

Die Seiten A ... E müssen irgendiwe aneinandergereiht und ausgerichtet sein, dass sie eine Maximalfläche ergeben.

Die Maximalfläche des 5-Ecks muss größer sein als die abschließende Aussage: "18000 cm^2 wurden mindestens verdoppelt". Ist wohl nur ein kleiner Tipp, dass man auf der richtige Fährte ist, wenn man eine Lösung > 36000 cm^2 erhält.

Gruß
Conny

24.02.2022, 13:04

HAL 9000

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Anderer analytischer Ansatz (zum Fünfeck-Problem natürlich):

Mit den zwei Variablen $\begin{eqnarray*} x = |AD| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y = |BD| \end{eqnarray*}$ kann man das Fünfeck in drei Dreiecke der Seitenlängentripel $\begin{eqnarray*} (d,e,x) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (a,x,y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b,c,y) \end{eqnarray*}$ aufteilen, mit Gesamtfünfeck-Flächeninhalt gemäß Heronscher Flächenformel

$\begin{eqnarray*} A = A(x,y) = h(d,e,x) + h(a,x,y) + h(b,c,y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} h(u,v,w):=\frac{1}{4}\sqrt{(u+v+w)(u+v-w)(u-v+w)(-u+v+w)} \end{eqnarray*}$ .

Da muss man dann erstmal eruieren, für welche $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ das überhaupt definiert ist (Dreiecksungleichungen sind zu beachten!!!) und anschließemd in dem Definitionsgebiet das Maximum suchen. Wird wohl genügen, das hier approximativ zu tun.

Mit $\begin{eqnarray*} a=160,b=190,c=130,d=80,e=180 \end{eqnarray*}$ sowie Einsatz eines CAS komme ich mit diesem Ansatz numerisch zur Maximumstelle $\begin{eqnarray*} x_M= 227.8728 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y_M = 250.8089 \end{eqnarray*}$ und zugehörigem Flächeninhalt $\begin{eqnarray*} A(x_M,y_M)\approx 36367.53 \end{eqnarray*}$ . Wirklich "schulgerecht" ist diese Lösung natürlich nicht.

[attach]54619[/attach]

24.02.2022, 13:10

Conny_1729

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RE: Extremwertproblem: Umzäunungsaufgabe
Sorry,
bei meinem letzten Post muss es korrekterweise heißen ...

" ... quasi A = (370cm)^2/Pi. ..."

Nur der Form halber.
Weil ja der Umfang = 740cm beträgt!!!

Gruß
Conny

24.02.2022, 13:24

Steffen Bühler

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RE: Extremwertproblem: Umzäunungsaufgabe
Hier die entsprechende hübsche Grafik dazu:

[attach]54618[/attach]

24.02.2022, 14:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von Conny_1729
Nach stundenlangem Grübeln kommen sie der Lösung mit der Gesamtfläche 18000 cm^2 sehr nahe.

Ist wirklich verblüffend, dass das Maximum für das ursprüngliche Viereck tatsächlich exakt 18000 cm² ist. Lässt sich ähnlich wie oben mit dem diesmal eindimensionalen Maximierungsproblem $\begin{eqnarray*} h(a,b,x)+h(c,d,x)\to \max! \end{eqnarray*}$ betrachten, hier mit Lösung $\begin{eqnarray*} x_M=50\sqrt{17} \end{eqnarray*}$ .

------------------------------------------------------------------------

Hmm, ich komme gerade auf eine interessante Erkenntnis:

Zitat:

Ein konvexes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Eck mit vorgegebenen Seitenlängen besitzt genau dann maximalen Flächeninhalt, wenn es einen Umkreis besitzt, d.h., alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Eckpunkte auf einem Kreis liegen.

Kannte ich vorher noch nicht, hat aber bestimmt schon mal jemand gefunden (und ist womöglich dem Ersteller dieser Aufgabe durchaus bekannt).

24.02.2022, 14:53

Conny_1729

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Hi,
die numerische Lösung von „HAL 9000“ hat mir schon sehr viel weitergeholfen!!!
Ich bin jetzt von der Grundaussage ausgegangen, dass es sich um ein „konvexes Polygon handeln muss“. Von meiner Intuition geleitet, halte ich den Ansatz naheliegend und vernünftig, dass die 5-eckige Figur mit ihren Eckpunkten auf einem Kreis mit Durchmesser D befestigt ist (Vermutung!). Die Mittelsenkrechten der 5 einzelnen Seiten verlaufen dann stets durch den Mittelpunkt des Kreises und haben die Länge R=D/2, sodass die 5 Dreiecke die Gesamtfläche bilden. Bildlich gesehen, könnte man sich vorstellen, dass das Polygon von den Eckpunkten ausgehend radial nach außen gezogen wird und somit möglicherweise maximal „aufgebläht“ wird.
Mit dieser Annahme müsste dann folgende Forderung erfüllt sein.
$\begin{eqnarray*} <br /> 2\sum\limits_{k=1}^{5} arcsin(S_{k}/D )= 2\pi<br /> \end{eqnarray*}$

…, weil ja die Winkelsumme der nach innen zeigenden Dreieckspitzen insgesamt 360° ergeben muss (= 2Pi rad).
Die Bedingung wird erfüllt, wenn D=256,00788… ist.
Danach kann man die Gesamtfläche der 5 Dreiecke mit folgender Formel errechnen:
$\begin{eqnarray*} <br /> A=\sum\limits_{k=1}^{5} 1/4\cdot S_{k}^{2}\cdot \sqrt[2]{(D/S_{k})^{2} -1 }<br /> \end{eqnarray*}$
D eingesetzt in die Flächenformel ergibt dann A = 36367,53358… , und dieses Ergebnis habe ich ja hier schon gelesen. Dann scheint ja meine obige Vermutung doch zielführend gewesen zu sein.

Danke für eure Mithilfe!!!

Gruß
Conny

24.02.2022, 15:19

Huggy

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Zitat:

Original von Conny_1729
Von meiner Intuition geleitet, halte ich den Ansatz naheliegend und vernünftig, dass die 5-eckige Figur mit ihren Eckpunkten auf einem Kreis mit Durchmesser D befestigt ist (Vermutung!).

Hier

https://www.drking.org.uk/hexagons/misc/polymax.html

sind 2 Beweise, dass ein Polygon maximalen Flächeninhalts bei gegebenen Seitenlängen ein Sehnenpolygon sein muss.

24.02.2022, 15:39

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Ein konvexes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Eck mit vorgegebenen Seitenlängen besitzt genau dann maximalen Flächeninhalt, wenn es einen Umkreis besitzt, d.h., alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Eckpunkte auf einem Kreis liegen.

Ah! Dann gilt doch, wenn man den Mittelpunkt des Umkreises in den Ursprung legt, für die fünf gesuchten Koordinatenpaare:

$\begin{eqnarray*} x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2=x_3^2+y_3^2=x_4^2+y_4^2=x_5^2+y_5^2=r^2 \end{eqnarray*}$

Und dann haben wir noch die fünf gegebenen Seitenlängen a, b, c, d, e. Für a gilt dann beispielsweise:

$\begin{eqnarray*} (x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=(x_2^2-2x_2x_1+x_1^2)+(y_2^2-2y_2y_1+y_1^2)=(x_1^2+y_1^2)+ (x_2^2+y_2^2) -2x_2x_1 -2y_2y_1=2r^2 -2x_2x_1 -2y_2y_1 = a^2 \end{eqnarray*}$

Entsprechend dann für b, c, d, e. Also fünf Gleichungen I bis V.

Nun könnte man I-II rechnen, dadurch fällt 2r² raus. Dann I-III, I-IV, I-V. Dann II-III usw. So entstehen zehn Gleichungen für 10 Unbekannte.

24.02.2022, 15:53

HAL 9000

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Noch eine kleine Nachlese zum ursprünglichen Viereck: Dort geht die Sache so glatt auf, weil man wegen

$\begin{eqnarray*} 160^2 + 130^2 = 190^2 + 80^2 = \left(50\sqrt{17}\right)^2 \end{eqnarray*}$

da als Optimum ein Sehnenviereck mit zwei gegenüber liegenden rechten Winkeln hat. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und mit Fläche $\begin{eqnarray*} A = \frac{160\cdot 130 + 190\cdot 80}{2} = 18000 \end{eqnarray*}$ .

@Steffen

Deine Subtraktionen der Gleichungen mal noch nicht betrachtet hat man genau 10 Gleichungen für 11 Unbekannte (da ist $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ mit dabei).

Ist aber völlig normal, dass ein Freiheitsgrad übrig bleibt: Wenn man alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Punkte um denselben Winkel im Kreis verschiebt, bekommt man schließlich wieder eine Lösung. Z.B. kann man dann o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} y_1=0 \end{eqnarray*}$ setzen und damit den ersten Punkt auf der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse festtackern. Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.02.2022, 16:11

HAL 9000

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@Huggy

Mit dieser Formel von Bretschneider für den Vierecksflächeninhalt, speziell der trigonometrischen Variante

$\begin{eqnarray*} F = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos^2\left(\frac{\alpha+\gamma}{2}\right)} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} s=\frac{a+b+c+d}{2} \end{eqnarray*}$

hat man natürlich den Beweis für den Fall $\begin{eqnarray*} n=4 \end{eqnarray*}$ sofort im Sack. Und für $\begin{eqnarray*} n>4 \end{eqnarray*}$ dann unmittelbar auch. Freude

Freude

24.02.2022, 20:57

Conny_1729

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Uih,
das ist auch eine nette Variante, die Formeln von Bretschneider und Heron zu verknüpfen.

Für die Seiten : 80cm , 180cm, x
$\begin{eqnarray*} <br /> A_{Heron} = \frac{1}{4} \sqrt[]{(260+x)(100+x)(-100+x)(260-x)}<br /> \end{eqnarray*}$

Für die Seiten: 160cm, 190cm, 130cm, x
$\begin{eqnarray*} <br /> A_{Brets.} = \frac{1}{4} \sqrt[]{(160+x)(100+x)(220+x)(480-x)}<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> A_{gesamt}=A_{Heron}+A_{Brets.} <br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{d}{dx}(A_{gesamt})=0<br /> \end{eqnarray*}$

Für x gibt es dann die positive reelle Lösung x = 227,873 cm.
Eingesetzt ergibt das:
$\begin{eqnarray*} <br /> A_{gesamt}(x=227,873cm) = 36367,5 cm^2<br /> \end{eqnarray*}$

So kommt man auch ans Ziel.

Gruß
Conny

24.02.2022, 22:33

HAL 9000

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Ja, geht natürlich auch, weil man hier implizit schon einfließen lässt, dass das betroffene Teilviereck im Maximumflächenfall auf jeden Fall ein Sehnenviereck sein muss. Das reduziert die Variablenzahl von 2 auf 1.

P.S.: Die Sehnenviereck-Flächenformel $\begin{eqnarray*} F = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \end{eqnarray*}$ war mir auch vorher bekannt - die Bretschneider-Formel ist dagegen ja auch im allgemeinen Viereck gültig.

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