Exponentialgleichung: Eigenschaft nachweisen

26.02.2022, 12:03	Conny_1729	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialgleichung: Eigenschaft nachweisen Hallo, gestern habe ich mir in der Uni am schwarzen Brett eine Aufgabenstellung notiert. Vorweggenommen: Meine Mathe-Kenntnisse reichen da noch nicht aus. Aber, vielleicht habt ihr ja daran Spaß? Gegeben sei die Bedingung: $\begin{eqnarray} <br /> a^{b}=b^{a} <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> a,b\in \mathbb R <br /> \end{eqnarray}$ mit a>b Es soll (nicht numerisch!) nachgewiesen bzw. entkräftet werden, dass $\begin{eqnarray} <br /> a^{b}-a=\left[ln(a)\right] ^{2} <br /> \end{eqnarray}$ gültig ist für: $\begin{eqnarray} <br /> {a \to \infty }<br /> \end{eqnarray}$ Gruß Conny
27.02.2022, 18:05	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Gleichung soll gültig sein für $\begin{eqnarray} a\to\infty \end{eqnarray}$ ??? Stattdessen meinst du wohl damit die Gültigkeit (oder eben nicht) von $\begin{eqnarray} \lim_{a\to\infty} \left(a^b - a - \left(\ln(a)\right)^2\right) = 0 \end{eqnarray}$ , oder wie sonst ist das zu verstehen.
27.02.2022, 20:48	Conny_1729	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo HAL 9000, genau so muss man das verstehen, nämlich als Grenzwert, wenn a gegen unendlich läuft. Im ersten Schritt bin ich soweit gekommen, dass ich die Abhängigkeit b(a) über die Lambertsche Funktion W ausdrücken kann: $\begin{eqnarray} <br /> b=-\frac{a}{ln(a)}\cdot W\left[\frac{-ln(a)}{a}\right] <br /> \end{eqnarray}$ Somit ist dann: $\begin{eqnarray} <br /> f(a)=a^{b}-a-((ln(a))^{2}=e^{-a\cdot W\left[-\frac{ln(a)}{a} \right] }-a-((ln(a))^{2} <br /> \end{eqnarray}$ Und nun beginnt die Schwierigkeit, den Nachweis zu erbringen für: $\begin{eqnarray} <br /> \lim_{a \to \infty } f(a)=0<br /> \end{eqnarray}$ Mir ist es bisher nicht gelungen.
27.02.2022, 21:12	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit der Potenzreihenentwicklung $\begin{eqnarray} W(t) = t-t^2+O(t^3) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t\to 0 \end{eqnarray}$ sollte eigentlich was möglich sein...
28.02.2022, 02:00	Conny_1729	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich versuche es einmal mit diesem Ansatz: $\begin{eqnarray} \frac{W(t)}{t} = 1-t+O(t^2) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t\to 0 \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} t=-\frac{ln(a)}{a} \end{eqnarray}$ sei. Die höheren Potenzen von t lasse ich im Folgenden aus dem Spiel. $\begin{eqnarray} \frac{W(t)}{t} = 1-t \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t\to 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{a \to \infty } f(a)=\lim_{a \to \infty } e^{-a(-\frac{ln(a)}{a} )\cdot \frac{W(t)}{t}}-a-((ln(a))^2=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{a \to \infty } e^{ln(a)(1-t)}-a-((ln(a))^2=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{a \to \infty } \frac{a}{e^{t\cdot ln(a)}}-a(1+at^2)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{a \to \infty }1-e^{-a\cdot t^2}\cdot (1+at^2)=0 \end{eqnarray}$ nun ist jedoch: $\begin{eqnarray} \lim_{a \to \infty } a\cdot t^{2} =\lim_{a \to \infty } \frac{(ln(a))^{2}}{a}=0 \end{eqnarray}$ womit möglicherweise der Nachweis vorliegen könnte. (???) Und hiermit erkennt man auch, dass ein Grenzwert von: $\begin{eqnarray} \lim_{a \to \infty } a^{b} -a-ln(a)\neq 0 \end{eqnarray}$ weil dann $\begin{eqnarray} \lim_{a \to \infty } a\cdot t =\lim_{a \to \infty } -ln(a)\neq 0 \end{eqnarray}$ sein würde. Der Grenzwert würde gegen einen unendlich großen Wert streben. Die Frage ist, ob man sich den Weg so einfach machen darf, wie es der obige Ansatz vorgibt?
28.02.2022, 08:42	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, für die Grenzwertbetrachtung ist es natürlich unerlässlich, den Landau mitzuschleppen: Basierend auf ebenfalls Potenzreihenentwicklung $\begin{eqnarray} e^x = 1+x + O(x^2) \end{eqnarray}$ gilt dann $\begin{eqnarray} e^{-aW\left(-\frac{\ln(a)}{a}\right)} &=& e^{-a\left(-\frac{\ln(a)}{a}-\frac{(\ln(a))^2}{a^2} + O\left(\frac{(\ln(a))^3}{a^3}\right)\right)} = e^{\ln(a)+\frac{(\ln(a))^2}{a} + O\left(\frac{(\ln(a))^3}{a^2}\right)} = a\cdot e^{\frac{(\ln(a))^2}{a} + O\left(\frac{(\ln(a))^3}{a^2}\right)}\\ &=& a\left(1 + \frac{(\ln(a))^2}{a} + O\left(\frac{(\ln(a))^4}{a^2}\right) + O\left(\frac{(\ln(a))^3}{a^2}\right)\right) = a + (\ln(a))^2 + O\left(\frac{(\ln(a))^4}{a}\right) \end{eqnarray}$ . Und wegen $\begin{eqnarray} \lim_{a\to\infty} \frac{(\ln(a))^4}{a} = 0 \end{eqnarray}$ bekommst du dann dein Wunschergebnis.
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28.02.2022, 10:33	Conny_1729	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ja, darin besteht die Eleganz dieser Lösung, indem man zuerst die Potentreihenentwicklung von W(x) benutzt und dann das gleiche Spiel für die e-Funktion noch einmal vollzieht. In dieser Form sieht man weitaus besser, wie sich die einzelnen Terme eliminieren und der Landau-Restterm gegen Null strebt. Super!!! Vielen Dank für die Unterstützung! Conny

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