Gruppenhomomorphismen

26.02.2022, 14:55

HiBee123

Gruppenhomomorphismen

Hallo

Sei (G,*) eine Gruppe
Es gilt zu zeigen, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
1. G ist kommutativ
2. $\begin{eqnarray*} f: G\rightarrow G, x\mapsto x^{-1} \end{eqnarray*}$ ist ein Gruppenhomomorphismus
3. $\begin{eqnarray*} f: G\rightarrow G, x\mapsto x^{2} =x*x \end{eqnarray*}$ ist ein Gruppenhomomorphismus
ich weiß leider nicht so recht wie ich diese Aufgabe angehen kann...

26.02.2022, 16:15

IfindU

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RE: Gruppenhomomorphismen
Ich seh leider nichts direktes für $\begin{eqnarray*} 2 \iff 3 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} 1 \iff 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \iff 3 \end{eqnarray*}$ sind sehr direkt bewiesen. Was hast du denn bisher versucht?

26.02.2022, 16:42

HiBee123

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RE: Gruppenhomomorphismen
Also für " $\begin{eqnarray*} 1 \Rightarrow 2 \end{eqnarray*}$ "
könnte man ja einfach $\begin{eqnarray*} f(ab)=b^{-1}\cdot a^{-1} \end{eqnarray*}$ wegen der Kommutativität gleichsetzen mit $\begin{eqnarray*} f(ab)=b^{-1}\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot b^{-1}=f(a)\cdot f(b) \end{eqnarray*}$ und ähnlich kann man vorgehen, wenn man " $\begin{eqnarray*} 1 \Rightarrow 3 \end{eqnarray*}$ " zeigen will
also mit $\begin{eqnarray*} f(ab)=ab\cdot ab= a\cdot a \cdot b\cdot b=a^2\cdot b^2=f(a)\cdot f(b) \end{eqnarray*}$
und dann bin ich mir leider nicht so sicher.
für " $\begin{eqnarray*} 2 \Rightarrow 1 \end{eqnarray*}$ "
Also wenn f ein Homomorphismus ist gilt, f(ab)=f(a)*f(b)
also insbesonder $\begin{eqnarray*} b^{-1}\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot b^{-1} \end{eqnarray*}$ da a und b beliebig gewählt waren folge die Kommutativität (oder?)
und dann ähnlich für " $\begin{eqnarray*} 3 \Rightarrow 1 \end{eqnarray*}$ "
wegen der Homomorphie wieder f(ab)=f(a)*f(b)
also insbesondere $\begin{eqnarray*} ab\cdot ab= a^2\cdot b^2 =a\cdot a \cdot b\cdot b \end{eqnarray*}$ woraus wieder $\begin{eqnarray*} a\cdot b=b\cdot a \end{eqnarray*}$ folgt (oder?)
Stimmt mein Beweis denn so, Oder habe ich was wichtiges vergessen? verwirrt

26.02.2022, 16:51

IfindU

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RE: Gruppenhomomorphismen

Zitat:

Original von HiBee123
also insbesonder $\begin{eqnarray*} b^{-1}\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot b^{-1} \end{eqnarray*}$ da a und b beliebig gewählt waren folge die Kommutativität (oder?)

Wenn du es sauber begründest, dann ja. D.h. warum folgt aus der Kommutitativät aller Inversen die allgemeine Kommunitativität.

Zitat:

also insbesondere $\begin{eqnarray*} ab\cdot ab= a^2\cdot b^2 =a\cdot a \cdot b\cdot b \end{eqnarray*}$ woraus wieder $\begin{eqnarray*} a\cdot b=b\cdot a \end{eqnarray*}$ folgt (oder?)

Auch hier, wenn du es begründen kannst, dann ja.

26.02.2022, 16:58

HiBee123

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RE: Gruppenhomomorphismen
Also aus der Kommutativität alle Inversen, folgt deshalb die Kommutativität der Gruppe, da nach Gruppenaxiomen jedes Element auch immer ein Inverses ist.
und zur zweiten Aussage nutze ich einfach dass Assoziativgesetz
$\begin{eqnarray*} a\cdot b\cdot a\cdot b =a\cdot( b\cdot a)\cdot b =a\cdot( a\cdot b)\cdot b = a\cdot a\cdot b\cdot b \end{eqnarray*}$
Man könnte jetzt auch von links mit a^{-1} und von rechts mit b^{-1} multiplizieren, dann steht die gewünschte Gleichheit da.

26.02.2022, 16:59

IfindU

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RE: Gruppenhomomorphismen
Passt Freude

26.02.2022, 17:12

HiBee123

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RE: Gruppenhomomorphismen
Cool! Danke! Blumen

27.02.2022, 17:12

IfindU

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RE: Gruppenhomomorphismen
Ich habe noch einmal drüber nachgedacht für $\begin{eqnarray*} 2 \implies 3 \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} g(x) = x^{-1} \end{eqnarray*}$ und wir zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ ein Gruppenhomomorphismus ist. Bemerke: $\begin{eqnarray*} g \circ g(x) = x \end{eqnarray*}$ Seien $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ beliebig, dann gilt $\begin{eqnarray*} f(ab) = abab = a(a^{-1} b^{-1})^{-1}b = a \cdot g(g(a) g(b)) \cdot b = a \cdot g(g(ab)) \cdot b = a \cdot ab \cdot b = aabb = f(a)f(b) \end{eqnarray*}$ .

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