Mengen finden

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yasminhope Auf diesen Beitrag antworten »
Mengen finden
1) und . Die Menge soll nichtleer und abgeschlossen sein. Jetzt sollen wir eine Vereinigung finden, wodurch alles offen und beschränkt wird.

2) Eine offene Menge , deren Rand genau einen Punkt enthält und wir sollen K so wählen, dass es beschränkt ist.

3) und . Die Menge soll beschränkt und offen sein. Jetzt sollen wir den Durchschnitt finden, wodurch alles abgeschlossen und nichtleer wird.

Habe leider nur eine Idee zu 3)

3)

Bei den zwei anderen bin ich absolut planlos. Danke im voraus.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1) Ein ähnliches Beispiel wie in 3) funktioniert. Denk dir eine (abgeschlossene) Kreisscheibe die immer "ein wenig" größer wird und sich einer anderen Kreisscheibe "annähert".

Zu 2) Für unbeschränkt, hab ich Beispiele. Für beschränkt, würde ich behaupten so etwas gibt es einfach nicht. Ggf. kann hier jemand mit mehr Fantasie aushelfen.
yasminhope Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Wink

Ah! Dann zu 1)


Bei 2) kann es auch sein, dass sowas nicht existieren kann. Sorry, hatte ich vergessen aufzuschreiben. Aber gibt es einen mathematischen Grund, wieso sowas nicht existieren kann?

Liebe Grüße
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von yasminhope

Ah! Dann zu 1)


Ich hätte genommen, aber jedem das seine Big Laugh

Zu 2). Das kann man sich wie folgt überlegen. kann nicht leer sein, weil sonst der Rand auch leer ist. D.h. ist nicht-leer und es existiert . Da offen ist, existiert mit sowie . Man kann jetzt das Supremum über diese nehmen. Nach Beschränkheit von sind auch diese Deltas beschränkt. Ich behaupte das Supremum erfüllt sowie sowie . D.h. besteht aus mindestens 2 Randpunkten. (Man kann es leicht verallgemeinern und beweisen, dass es unendlich viele Randpunkte sein müssen).
yasminhope Auf diesen Beitrag antworten »

Perfekt. Danke dir. smile

Und zu 2), das muss ich erstmal etwas sacken lassen. Ich verstehe das leider nicht so gut, liegt aber an mir.
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Vielleicht etwas anschaulicher, aber die gleiche Idee, die IfindU verwendert: Wenn K beschränkt ist, kann man es in eine große Kugel B um den Nullpunkt einschließen. Dann nimmt man einen Punkt . Die Gerade durch und den Nullpunkt trifft die große Kugel in zwei Punkten. Von den beiden Schnittpunkten geht man entlang der Geraden nach innen und bekommt so auch zwei Randpunkte von
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Um meinen Beweis auch (hoffentlich) anschaulicher darzustellen:

Mal dir eine beschränkte Menge auf und such dir einen beliebigen Punkt aus. Von dem Punkt ausgehend, geh solange nach links bis du die Menge K verlässt. Der Punkt ist ein Randpunkt von und somit haben wir einen Randpunkt gefunden. Geh zurück zu deinem Punkt vom Start, und spiele das gleiche nochmal nach "rechts" durch: Gehe solange "waagerecht" nach rechts, bis du die Menge verlässt. Dort findest du einen zweiten Randpunkt.
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Ich sag's ja, gleiche Idee.
@IfindU: Die Argumentation klappt in jeder wegzusammenhängenden Topologie, richtig?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

In der Umsetzung ist es ja leicht anders. Ich gehe von Innen los, bis ich den Rand finde, du startest von außen bis du den Rand triffst. Aber klar, am Ende ists effektiv das gleiche.

Zur Topologie-Frage: Ich überlege gerade wie die euklidische Topologie aussieht, bei der man den Einheitskreis als offen mitdefiniert.

Dann wäre die abgeschlossene Kreisscheibe ohne den Mittelpunkt potentiell eine solche Menge. Hab aber extrem schlechtes intuitives Verständnis wie die Topologie aussieht, wenn man sie erweitert. Es kann sein, dass durch die Hinzunahme des Einheitskreises die komplett "degeneriert" und selbst der eine Punkt in der Mitte nicht einmal Randpunkt wäre.
yasminhope Auf diesen Beitrag antworten »

Ah! Jetzt hab ich es verstanden!

Vielen lieben Dank! smile
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