Differenzieren

27.02.2022, 10:17	mannoschen2	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzieren Meine Frage: Seinen $\begin{eqnarray} D\subseteq\mathbb R \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a \in D \end{eqnarray}$ , E ein Banachraum und $\begin{eqnarray} f: D\to E \end{eqnarray}$ eine Funktion. Aufgabe: Ist f in a differenzierbar und sind $\begin{eqnarray} \left(a_{n}\right)_{n\geq0} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \left(b_{n}\right)_{n\geq0} \end{eqnarray}$ zwei Folgen in D mit $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } a_{n} = a = \lim_{n \to \infty } b_{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \forall n\in \mathbb N : (a_{n} < b_{n} \wedge a_{n} \leq a\geq b_{n} ) \end{eqnarray}$ dann gilt $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \frac{f(b_{n}) -f(a_{n})}{b_{n}- a_{n}}=f'(a) \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Da als tip die affine approximation gegeben ist habe ich versucht mit dieser voranzukommen, aber bisher ohne Erfolg. Durch Umstellen. Als Grenzwert von folgen von Funktionen mit der Steigung $\begin{eqnarray} \frac{f(b_{n}) -f(a_{n})}{b_{n}- a_{n}} \end{eqnarray}$ gegen die affine approximation... Edit by IfindU: Leider reagiert das Forum etwas unglücklich, wenn LaTeX-Code als Smileys interpretirerbar sind. Entsprechend gefixt.
27.02.2022, 10:46	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreib dir mal die Definition der Differenzierbarkeit mit Ableitung $\begin{eqnarray} f'(a) \end{eqnarray}$ auf. Einmal kannst du für $\begin{eqnarray} h = a - a_n \end{eqnarray}$ und einmal $\begin{eqnarray} h = b_n - a \end{eqnarray}$ einsetzen und vereinfachen. Mit $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ meine ich den Parameter, der gegen 0 gehen soll in der Definition. Wenn du die beiden Ausdrücke addierst, kannst du bisschen umstellen und solltest schnell auf die Aussage kommen.
27.02.2022, 19:23	mannoschen	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die schnelle Antwort. wie schaffe ich es im Nenner auf $\begin{eqnarray} b_{n} - a_{n} \end{eqnarray}$ zukommen? Willkommen im Matheboard! Du bist hier jetzt zweimal angemeldet, mannoschen2 wird daher demnächst gelöscht. Viele Grüße Steffen
27.02.2022, 19:49	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meinte wie im Tipp vorgegeben, es in die Definition einer Ableitung als affine Approximation einzusetzen.

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