Offenheit / Abgeschlossenheit

28.02.2022, 12:12

yasminhope

Offenheit / Abgeschlossenheit

Meine Fragen wären: Wieso ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ abgeschlossen und offen? Gilt das auch für $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \backslash \{0\} \end{eqnarray*}$ ? Hat die Menge überhaupt dann einen Rand?

Liebe Grüße

28.02.2022, 12:34

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RE: Offenheit / Abgeschlossenheit
Wenn du solche Fragen stellst, muss du dazu sagen, welche Topologie du betrachtest.
Bei einer Topologie auf einer Menge M sind die leere Menge und M immer offen und damit auch abgeschlossen.

28.02.2022, 12:44

yasminhope

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Hey

Ich hatte eine Menge M gegeben: $\begin{eqnarray*} M = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | (x-y)^2 > 0\} \end{eqnarray*}$ . Da irgendwie gesagt wurde, dass die Menge $\begin{eqnarray*} K = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ offen und abgeschlossen ist, hatte ich versucht damit herauszufinden, ob meine Menge einen Rand hat. Da $\begin{eqnarray*} K = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist, sollten die Randpunkte dazugehören, aber dadurch das sie auch offen ist, irgendwie auch nicht. Das verwirrt mich irgendwie. Ich hoffe, dass ich damit spezifiziert habe, wie meine Fragen gemeint waren.

Liebe Grüße

28.02.2022, 13:05

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Nein, nicht wirklich. Dann anders: Wie habt ihr offen und abgeschlossen definiert?
Ist bekannt, dass eine Menge genau dann offen ist, wenn ihr Komplement abgeschlossen ist?
Ist bekannt, dass das Urbild einer offenen Menge unter einer stetigen Funktion offen ist?

28.02.2022, 13:11

yasminhope

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Die beiden Sachen, die du dahin geschrieben sind nicht bekannt. Das einzige, was wir dazu hatten, ist folgendes:

Eine Menge A ist offen, wenn kein Randpunkt zu A gehört.
Eine Menge A ist abgeschlossen, wenn alle Randpunkte zu A gehören.

28.02.2022, 13:17

yasminhope

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Zitat:

Ist bekannt, dass eine Menge genau dann offen ist, wenn ihr Komplement abgeschlossen ist?

Wenn das gilt, dann würde das bedeuten, dass meine Menge M offen ist. verwirrt

Das Komplement meiner Menge wäre: $\begin{eqnarray*} M^c = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x = y\} \end{eqnarray*}$ und das ist ja abgeschlossen, wenn ich jetzt nicht komplett falsch liege, weil hier jeder Randpunkt zu $\begin{eqnarray*} M^C \end{eqnarray*}$ gehört. verwirrt

28.02.2022, 13:21

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So ist es, M ist offen.

28.02.2022, 13:26

yasminhope

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Perfekt, danke dir. Ich hab noch zwei kleine Fragen, um zu gucken, ob ich das richtig verstanden habe.

Wenn $\begin{eqnarray*} M = \mathbb{R}^2 \backslash \{(0,0)\} \end{eqnarray*}$ . Das wäre auch offen aber nicht abgeschlossen und $\begin{eqnarray*} M' = \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ wäre offen und abgeschlossen. Das Komplement davon wäre ja die leere Menge, wenn man $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^2 \end{eqnarray*}$ ignoriert. Richtig? verwirrt

28.02.2022, 13:40

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Zu $\begin{eqnarray*} M' = \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ kann ich nicht sagen, weil ich nicht weiß, was du mit $\begin{eqnarray*} M' \end{eqnarray*}$ meinst. Falls es der Abschluss von M sein soll, dann stimmt das. Die Aussagen zur Offenheit und Abgeschlossenheit sind richtig.

28.02.2022, 13:42

yasminhope

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Oki. Danke dir. smile

Liebe Grüße

28.02.2022, 18:56

Matheliebhaber7272

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Bin ein Zuschauer, gilt für den Rand also für das eigentliche M, ist der Rand die Komplementärmenge? Das konnte ich nicht ganz erschließen

28.02.2022, 20:06

IfindU

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Der Rand einer Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ (genannt $\begin{eqnarray*} \partial M \end{eqnarray*}$ ) ist definiert als $\begin{eqnarray*} \overline M / M^o \end{eqnarray*}$ . In Worten: Der Abschluss von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ohne das Innere von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .

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