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02.03.2022, 11:29	yasminhope	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgen Hey (1) Diese Folge $\begin{eqnarray} \vec{x}_k = \begin{pmatrix} 0 \\ (-1)^k \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wäre doch divergent, aber besitzt dennoch eine konvergente Teilfolge. Nämlich hätte ich an sowas gedacht: $\begin{eqnarray} \vec{x}_k = \begin{pmatrix} 0\\ (-1)^{2k} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (2) Gibt es eine beschränkte Menge $\begin{eqnarray} B \subset \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ und eine Folge $\begin{eqnarray} \vec{x}_k \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ derart, dass $\begin{eqnarray} (\vec{x}_k) \end{eqnarray}$ keine in B konvergente Teilfolge besitzt? (3) Gibt es eine abgeschlossene Menge $\begin{eqnarray} B \subset \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ und eine Folge $\begin{eqnarray} \vec{x}_k \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ derart, dass $\begin{eqnarray} (\vec{x}_k) \end{eqnarray}$ keine in B konvergente Teilfolge besitzt? Ich kenne nur den Satz, dass jede beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge. Das schließt aber nicht aus, dass es eine Folge gibt, die keine konvergente Teilfolge besitzt. Kann ich da irgendwas darüber sagen? Liebe Grüße
02.03.2022, 11:48	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgen (1) (2) Denk mal über offene Menge und Randpunkt nach (3) Du hast doch schon eine mögliche Idee genannt... (un)beschränkte Folgen Übrigens solltest du nochmal genau nachlesen, was Bolzano-Weierstrass aussagt.
02.03.2022, 12:09	yasminhope	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey (2) Ah. Wenn ich eine Menge $\begin{eqnarray} B = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \| x^2 + y^2 < 1\} \end{eqnarray}$ , dann kann eine Folge, die in B liegt auch gegen einen Randpunkt konvergieren, welcher nicht in der Menge B ist. $\begin{eqnarray} (\vec{x}_k) = \begin{pmatrix}1 \\ \frac{1}{k}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , für $\begin{eqnarray} \lim_{k \to \infty} \vec{x}_k= (1,0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (1,0) \notin B \end{eqnarray}$ . Und bei (3) kann ich dann direkt das von (1) $\begin{eqnarray} \vec{x}_k = \begin{pmatrix} 0 \\ (-1)^{2k} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nehmen mit der Menge $\begin{eqnarray} B = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \| x^2 + y^2 \leq 1\} \end{eqnarray}$ . Oder?
02.03.2022, 12:21	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
(2) Richtige Idee, aber dein x_k liegt nicht mal in B (3) Dein Beispiel ist doch konvergent, sogar konstant
02.03.2022, 12:29	yasminhope	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah! (2) $\begin{eqnarray} (\vec{x}_k) = \begin{pmatrix}0 \\ 1-\frac{1}{k}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Sorry, dass ich mich so dumm anstelle. Aber bei (3) bin gerade bissel überfordert, also was du genau meinst.
02.03.2022, 12:34	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
(2) die Folge geht, allerdings ist der Randpunkt nicht mehr (1,0) sondern ..? (3) du suchst eine Folge, die keine konvergente Teilfolge hat. Dein Beispiel $\begin{eqnarray} \vec{x}_k = \begin{pmatrix} 0 \\ (-1)^{2k} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist doch eine konstante Folge, also konvergent, also konvergiert auch jede Teilfolge.
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02.03.2022, 12:53	yasminhope	Auf diesen Beitrag antworten »
(2) Gegen $\begin{eqnarray} (0,1) \end{eqnarray}$ . (3) Ah! Dann muss ich in dem Fall eine Menge nehmen, die unbeschränkt ist. Wenn sie nämlich beschränkt und abgeschlossen ist, müsste meine gewählte Folge gegen einen äußeren Punkt konvergieren und so wie ich das gelernt habe, geht das garnicht. $\begin{eqnarray} B = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \| y \geq 0 \ \text{und} \ x \geq 0\} \end{eqnarray}$ . Jetzt kann ich zum Beispiel die Folge $\begin{eqnarray} (\vec{x}_k) = \begin{pmatrix}0 \\ k\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . So müsste das stimmen oder?
02.03.2022, 13:17	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
(2) (3)
02.03.2022, 13:29	yasminhope	Auf diesen Beitrag antworten »
Juhu! Danke für deine Zeit!

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