Eulerform

02.03.2022, 12:13	Rebeccalol	Auf diesen Beitrag antworten »
Eulerform Moin Wie sieht denn die Eulerfom der Funktion A*cos(wt+phi) aus? Ich frage weil ich hiervon die Laplace-transformation brauche...
03.03.2022, 01:33	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
In diesem Fall ist auf die komplexe Zeigerdarstellung überzugehen. Das heißt, es wird eine komplexe Funktionaltransformation ausgeführt (j entspricht hier der imaginären Einheit i): $\begin{eqnarray} a(t) = A \cos(\omega t + \varphi) \end{eqnarray}$ ist der Imaginärteil des komplexen Zeigers $\begin{eqnarray} \underline a(t) = A e^{j (\omega t + \varphi)} = A e^{j \varphi} \cdot e^{j \omega t} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} Ae^{j\ \varphi} = \underline A \end{eqnarray}$ die zeitunabhängige komplexe Amplitude darstellt. Die komplexe Funktion lautet daher kurzgeschrieben $\begin{eqnarray} \underline a(t) = \underline Ae^{j\omega t} \end{eqnarray}$ . Diese Transformation $\begin{eqnarray} a(t) \ \to \ \underline a(t) \end{eqnarray}$ bildet die reelle Funktion $\begin{eqnarray} a(t) \end{eqnarray}$ auf den Imaginärteil der komplexen Funktion $\begin{eqnarray} \underline a(t) \end{eqnarray}$ ab. Sie besteht folglich aus dem zeitunabhängigen Faktor $\begin{eqnarray} \underline A = Ae^{j \varphi} \end{eqnarray}$ , der den Anfangsphasenwinkel enthält und dem zeitabhängigen Faktor $\begin{eqnarray} e^{j \omega t} \end{eqnarray}$ , in welchem sich die Frequenz $\begin{eqnarray} \omega = 2 \pi f \end{eqnarray}$ befindet. Man sieht hier schon den Vorteil der komplexen Darstellung von Schwingungen in der Physik. Die Rechenoperationen, die mit Winkelfunktionen recht umfangreich sind, können wesentlich vereinfacht werden. Im Allgemeinen wird dadurch der Rang der Rechenoperationen um eine Stufe herabgesetzt. Näheres dazu im Workshop [WS] Komplexe Zahlen und im Thread 'Komplexe Amplitude' mY+

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