Exponentielles Wachstum - oder nicht

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Metageneralis Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentielles Wachstum - oder nicht
Meine Frage:
Ein Roboter besitzt die Fähigkeit, innerhalb eines Tages eine Kopie von sich anzufertigen. Am Anfang gibt es genau ein Exemplar, das sich auf diese Weise vermehrt. Alle Roboter arbeiten immer gemeinsam an der jeweils nächsten Kopie. Wie lautet die Funktionsgleichung, welche das Anwachsen der Anzahl der Roboter beschreibt, und um welche Art von Wachstum handelt es sich hierbei?

Meine Ideen:
Meine Vermutung ist, dass es sich um eine Exponentialfunktion handelt, die das Wachstum beschreibt. Jedoch wächst die Anzahl der Roboter schneller als im Falle von beispielsweise Bakterien, die sich pro Zyklus verdoppeln, weil durch die Zusammenarbeit innerhalb eines Zyklus weitere Roboter fertiggestellt werden, die bei dem Wachstum wiederum mitarbeiten. Möglicherweise sieht die Funktionsgleichung in etwa so aus: f(t)=2^[t/d+g(t)]; was g(t) genau sein könnte, ist mir jedoch unklar.
Auch erscheint mir zweifelhaft, ob dieses Wachstum als "exponentiell" bezeichnet werden kann, denn auf Wikipedia heißt es dazu:
"Exponentielles Wachstum (auch unbegrenztes oder freies Wachstum genannt) beschreibt ein mathematisches Modell für einen Wachstumsprozess, bei dem sich die Bestandsgröße in jeweils gleichen Zeitschritten immer um denselben Faktor vervielfacht."
Der Faktor nimmt aber in unserem Fall mit der Zeit zu, da eine Verdopplung pro Zyklus nicht ausreicht.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentielles Wachstum
Willkommen im Matheboard!

Zitat:
Original von Metageneralis
weil durch die Zusammenarbeit innerhalb eines Zyklus weitere Roboter fertiggestellt werden, die bei dem Wachstum wiederum mitarbeiten.

Von Zusammenarbeit lese ich nichts. Es heißt zwar
Zitat:
Alle Roboter arbeiten immer gemeinsam an der jeweils nächsten Kopie.

Aber das heißt, dass jeder einzeln an seiner eigenen Kopie arbeitet. Es gibt keine gegenseitige Hilfe.

Somit ist es in der Tat genauso wie bei Bakterien. Nach einem Tag hat der erste seine Kopie angefertigt (dann sind es 2), nach zwei Tagen haben die beiden ihre jeweilige Kopie angefertigt (dann sind es 4) und so weiter.

Viele Grüße
Steffen
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Satz, der mich ein wenig irritiert ist

Zitat:
Original von Metageneralis
Alle Roboter arbeiten immer gemeinsam an der jeweils nächsten Kopie.

Äh - warum jetzt das? Der erste Roboter hat es doch auch geschafft, innerhalb eines Tages eine Kopie von sich anzufertigen - warum müssen jetzt eine Vielzahl von Robotern plötzlich gemeinsam werkeln? Ich würde den Satz einfach ignorieren - der Rest des Erklärtextes führt zu folgendem:

Jeden Tag verdoppelt sich die Anzahl der Roboter, d.h., wenn wir an Tag 1 die Anzahl haben, dann an Tag die Anzahl . Und ja, sowas nennt man exponentielles Wachstum.


P.S.: Ich habe Steffens Antwort erst gelesen, als ich das vorstehende schon verfasst hatte - hab den Text dann aber nicht nochmal geändert, um drauf zu reagieren. Vielleicht ist obiger Satz ja auch im Sinne

Zitat:
Alle Roboter arbeiten immer separat an ihrer jeweils nächsten Kopie.

gemeint, d.h., die obige Formulierung ist einfach verunglückt.
Metageneralis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentielles Wachstum
Vielen Dank für die Antworten. Das ist keine Aufgabe aus der Schule, sondern ein selbst gewähltes Beispiel. Es ist schon so gemeint, dass die Roboter beim Bau der jeweils nächsten Kopie zusammenarbeiten, um effizienter zu wachsen.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du selbst nicht davon überzeugt bist, dass es sich um ein exponentielles Wachstum handelt, dann ist die Überschrift deines Themas verunglückt.

Ich habe diese daher etwas modifiziert.

mY+
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentielles Wachstum
Du meinst also, dass zwei Roboter sich doppelt so schnell verdoppeln wie ein Roboter, weil sie sich gegenseitig helfen?

Dann sind es

nach 1 Tag 2
nach 1,5 Tagen 4
nach 1,75 Tagen 8

und so weiter. Das wird interessant, denn der Grenzwert 2 Tage wird nie erreicht bzw. dann sind es unendlich viele Roboter.
 
 
Metageneralis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentielles Wachstum
Der Zeitaufwand für den Bau eines Roboters bleibt insgesamt gleich, nur teilt sich die Zeit durch die Anzahl der beteiligten Roboter.
Beispielsweise gibt es nach 2 Tagen und 2 Stunden genau 5 Roboter.
(Nach 1 Tag sind es zwei, nach 36 Stunden sind es drei, nach 44 Stunden sind es vier, nach 50 Stunden sind es fünf.)
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so ist das gemeint... Na gut, wenn der Startzeitpunkt mit 1 Roboter ist, dann ist

(siehe Harmonische Zahl)

der Zeitpunkt, an dem Roboter Nr. fertig ist. Für große bedeutet das



und damit umgestellt die ungefähre Anzahl Roboter zum Zeitpunkt .


P.S.: Sollte eigentlich selbsterklärend sein, aber ich erwähne es sicherheitshalber: Ich rechne mit der Zeiteinheit "Tag".
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das Bild zeigt den Graphen der Funktion , wo die Umkehrfunktion der Funktion mit



ist. interpoliert die Harmonischen Zahlen in natürlicher Weise:



Auf der Rechtsachse sind die Zeitpunkte abgetragen, auf der Hochachse die Anzahl der Roboter.

[attach]54663[/attach]
Metageneralis Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den genialen Ansatz und die anschauliche Lösung des Problems.

Wenn ich es recht verstehe, nähert sich die Funktion 0,5e^t+0,5 für große t beliebig genau an die Werte für n an.

Hingegen scheint y=H^[-1](t)+1 die exakte Funktion zu sein. Nun habe ich noch eine Frage: Ist diese Funktion eine Exponentialfunktion?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Metageneralis
Nun habe ich noch eine Frage: Ist diese Funktion eine Exponentialfunktion?


Nein, ist sie nicht. Aber sie ist eine Quasi-Exponentialfunktion, wenn ich das einmal so sagen darf. HAL hat die Näherung angegeben:



worin die Euler-Mascheroni-Konstante ist.

Ein Plot zeigt fast keinen Unterschied zwischen der exakten Funktion und HALs Näherung. In einem strengen Sinn liegt also kein exponentielles Wachstum vor, in einem liberalen Sinn aber schon.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Tatsächlich gilt sogar exakt für alle .
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