50 Studenten und 5 Projekte

03.03.2022, 20:33

Rudi 359

50 Studenten und 5 Projekte

Ich komme mit dieser Aufgabe nicht weiter:

50 Studenen wählen aus 5 Projekten jeweils genau 1 Projekt aus. Wie groß ist die Ws., dass jedes Projekt von genau 10 Studenten gewählt wird?

Ich habe das folgende Urnenmodell gewählt: aus einer Urne mit 5 Projekten wird 50 Mal mit Zurücklegen gezogen. Jetzt könnte ich die Ws. berechnen, dass dabei Projekt 1 genau 10 mal gezogen wird .... aber wie kriege da noch hinein, dass Projekt 2, 3 und 4 auch genau 10 mal gezogen werden ?

Wenn das Ganze ohne Zurücklegen zu lösen wäre, könnte ich das mit dem Lotto-Modell abhandeln ... aber hier geht das ja nur MIT Zurücklegen.

Zusatzfrage:

Wie groß ist die Ws., dass Projekt 1 von mindestens 10 Studenten gewählt wird.

Ich habe folgendes Urnenmodell gewählt: Projekt 1 zieht mit Zurücklegen 50 Mal aus einer Urne mit zwei Kugeln, die mit Treffer und Niete beschriftet sind. Und dann berechne ich die Ws. dass 10 oder mehr Treffer erzielt wurden. Das erscheint mir aber sehr umständlich, weil ich einen komplexen Ausdruck von 10 bis 60 summieren muss

Kann mir jemand helfen, die richtigen Ansaätze zu finden ?

03.03.2022, 21:52

HAL 9000

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Zu 1) Es handelt sich hier um die Multinomialverteilung $\begin{eqnarray*} X\sim M\left(50,\left(\frac{1}{5},\frac{1}{5},\frac{1}{5},\frac{1}{5},\frac{1}{5}\right)\right) \end{eqnarray*}$ mit dann

$\begin{eqnarray*} P\left(X = (10,10,10,10,10)\right) = \binom{50}{10,10,10,10,10}\cdot \frac{1}{5^{50}} = \frac{50!}{10!^5\cdot 5^{50}}\approx 0.0005442 \end{eqnarray*}$

04.03.2022, 08:50

Rudi 359

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RE: 50 Studenten und 5 Projekte
Wunderbar ... das verstehe ich jetzt ... Die Anzahl der Anordnungen von 5 x 10 jeweils nicht-unterschiedenen Studenten ist 50! / ( 10! x 10! x 10! x 10! x 10!) .... die Anzahl aller Möglichkeiten je einen von 5 Kursen auf 50 Studenten zu verteilen ist 5 ^ 50. Und schon ist man fertig.

Wie sieht das aber jetzt mit der Zusatzaufgabe aus. Mit dem neuen Wissen ist es leicht, die Anzahl zu berechnen, wie man n Studenten auf den 1. Kurs verteilt und den Rest irgendwie anders:

50! / n!

Das kann ich jetzt für n= 0 bis n = 9 berechnen, damit die Ws. berechnen und dann die Gegenwahrscheinlichkeit bilden ... und erhalte die Ws. für mindestens 10 Studenten im Kurs 1.

Immer noch etwas Rechnerei. Oder geht das noch einfacher ?

Kann man vielleicht den Ausdruck 50! (1 / ( 1/0! + 1/1! + ... + 1/9!)) durch Umformung noch vereinfachen ?

04.03.2022, 09:07

HAL 9000

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Die Zusatzaufgabe ist doch noch einfacher: Die Anzahl $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ der Leute, die Projekt 1 wählen, ist binomialverteilt $\begin{eqnarray*} B\left(50,\frac{1}{5}\right) \end{eqnarray*}$ . Insofern ist gesucht

$\begin{eqnarray*} P\left(X\geq 10\right) = 1- P\left(X\leq 9\right) = 1 - \sum_{k=0}^9 \binom{50}{k} \left(\frac{1}{5}\right)^k \left(\frac{4}{5}\right)^{50-k} \end{eqnarray*}$ ,

bzw. viele TR haben diese Berechnungsfunktion ja bereits enthalten.

Zitat:

Original von Rudi 359
Mit dem neuen Wissen ist es leicht, die Anzahl zu berechnen, wie man n Studenten auf den 1. Kurs verteilt und den Rest irgendwie anders:

50! / n!

Da hast du was fatal missverstanden: Der "Rest" (50-n) darf hinsichtlich der Anordnungsmöglichkeiten nicht ignoriert werden. unglücklich

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