Winkel wird halbiert

03.03.2022, 22:43

Bunny_2000

Winkel wird halbiert

Meine Frage:
Ein Kreis k berührt einen größeren Kreis K von innen im Punkt P.
Der Punkt Q sei ein von P verschiedener Punkt auf k.
Die Tangente an k im Punkt Q schneidet K in den Punkten A und B.
Beweise, dass die Gerade PQ den Winkel APB halbiert.

Meine Ideen:
Habe keine

04.03.2022, 10:58

sulo

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RE: Winkel wird halbiert
Aktueller Wettbewerb

04.03.2022, 11:23

Steffen Bühler

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RE: Winkel wird halbiert
Danke, sulo.

Da es sich um eine Aufgabe aus der laufenden 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2022 handelt, wird hier geschlossen.

Aus unserem Boardprinzip:

Zitat:

Wir unterstützen keinerlei Art von Hilfe während einer Klausur/Schulaufgabe/Ex/Prüfung/Ausarbeitung Kolloquium/Wettbewerben.

Ab dem 7. März (Einsendeschluss) kann hier wieder geöffnet werden.

Viele Grüße
Steffen

08.03.2022, 11:36

Gualtiero

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Der erste Schritt bei Geometrieaufgaben ist immer das Anfertigen einer Skizze. Schon beim Zeichnen können Zusammenhänge klar werden.

[attach]54678[/attach]

08.03.2022, 12:41

HAL 9000

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Ein Tipp: Was passiert, wenn man ausgehend von Zentrum $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ eine zentrische Streckung durchführt, und zwar mit Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{|PM_1|}{|PM_2|} \end{eqnarray*}$ ?

08.03.2022, 13:14

Gualtiero

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Danke HAL 9000!

M1 kommt in M2 zu liegen, Q wandert gegen S und liegt nach der Streckung auf jeden Fall auf der Gerade durch P und S - Bedingung 1.

Da das Dreieck PM1Q gleichschenklig ist, muss auch das gestreckte Dreieck gleichschenklig sein. Das bedeutet, $\begin{eqnarray*} \overline{PM_{1}} \end{eqnarray*}$ muss gleich $\begin{eqnarray*} \overline{M_{1}Q'} \end{eqnarray*}$ sein - Bedingung 2.

Diese zwei Bedingungen lassen für Q' nur eine Möglichkeit zu: Q' = S.

Mehr möchte ich im Moment nicht sagen, vielleicht meldet sich ja Bunny_2000 noch.

09.03.2022, 10:38

Gualtiero

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OK, ich mache weiter. Eigentlich ist eh schon alles gesagt und die Lösung liegt fast in der Luft.

Die beiden Dreiecke PQM2 und PSM1 sind ähnlich und sind gleich ausgerichtet, daher ist Seite SM1 parallel zur Seite QM2 und liegt orthogonal zur Sehne AB.

Das bedeutet, dass das Lot von C auf AB durch den Mittelpunkt M1 geht und die Seite AB halbiert. Damit ist Dreieck ABS gleichschenklig und der rot und der grün markierte Winkel sind gleich groß - was zu zeigen war.

[attach]54682[/attach]

09.03.2022, 11:32

HAL 9000

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Ich weiß nicht, ob es bewusste Entscheidung von dir war, den Punkt ganz oben $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ zu nennen, aber das wäre auch meine Wahl gewesen:

Das ist nämlich der Südpol des Dreiecks $\begin{eqnarray*} ABP \end{eqnarray*}$ bzgl. Seite $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ , und gemäß Südpolsatz ist dann $\begin{eqnarray*} PS \end{eqnarray*}$ Winkelhalbierende von $\begin{eqnarray*} \angle APB \end{eqnarray*}$ . Kann man natürlich auch herkömmlich nachweisen, wie du es getan hast. Augenzwinkern