Vektoren lineare Unabhängigkeit

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the.noob Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoren lineare Unabhängigkeit
Meine Frage:
Hallo liebe Community,

habe eine Frage zu einem Beweis bzgl lineare Unabhängigkeit. Es ist f:V->W linear gegeben. f(v1),_f(vk) l.u nach Voraussetzung. Zu zeigen ist v1,_,vk ebenfalls l.u.

Meine Ideen:
Habe die Bedingung für Lineare Unabhängigkeit aufgeschrieben und ausgenutzt dass f linear ist.
habe dann f(x1*v1+,_,xk*vk)=0 stehen. Wie kann man jetzt weiterbegründen?

Viele Grüße
The.noob
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RE: Vektoren lineare Unabhängigkeit
Bisher hast du wohl nur genutzt, dass f(0)=0 gilt.
Jetzt benutze auf derl linken Seite von f(x1*v1+,_,xk*vk)=0 die Linearität von f.
the.noob Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren lineare Unabhängigkeit
ok danke für die Antwort.
Also ich habe die Linearität von f schon ausgenutzt indem ich die Skalare in die Klammer gepackt habe. Weiß leider nicht was du jetzt konkret meinst. Ich habe mir jetzt folgendes überlegt. Man schreibt die x1*v1+_+xk*vk=0 (*) und wendet auf beiden Seiten die Abbildung f an.

Dann hat man f(x1*v1+...)=f(0)
Da f linear ist, ist f(0)=0
und damit 0= f(x1*v1+...) und wenn man jetzt die Linearität von f ausnutzt hat man die Voraussetzung, dass x1*f(v1)+...xk*f(vk)=0 stehen und man müsste fertig sein, weil man dann sagen kann dass die Skalare alle 0 sein müssen.

Lg the.noob
the.noob Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren lineare Unabhängigkeit
und damit auch die Skalare aus (*)
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RE: Vektoren lineare Unabhängigkeit
So war das gedacht Freude
the.noob Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren lineare Unabhängigkeit
Vielen Dank URL! smile

Jetzt ist noch gefragt, ob es andersherum auch gelten muss, also v1,_,vk ist diesmal als l.u vorausgesetzt. Falls nicht dann muss man ein Gegenbsp. angeben. Meine Vermutung ist, dass f(v1),_,f(vk) dann ebenfalls l.u sein muss.
Hab in meinem Ansatz die Bedingung für L.U von f(v1),_,f(vk) hingeschrieben und bin nach meinen Umformungen darauf gekommen, das x1*v1+_+xk*vk aus dem Kern von f sein muss. Nun müsste ja nur die 0 im Kern enthalten sein, damit meine Skalare nur 0 sind um sagen zu können, dass f(v1),_,f(vk) l.u ist. Kann ich das an dieser Stelle schon sagen, oder fehlt mir noch was und ist die Aussage überhaupt richtig? verwirrt Hammer
Lg
 
 
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RE: Vektoren lineare Unabhängigkeit
Die Aussage ist im allgemeinen falsch, d.h. aus der linearen Unabhängigkeit von folgt nicht die Unabhängigkeit von . Das sieht man schon einfach an der Nullabbildung f=0.
Falls der Kern von f nur aus dem Nullvektor besteht, ist die Aussage allerdings richtig.
Ich denke, das meintest du auch.
the.noob Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren lineare Unabhängigkeit
Ok alles klar. Das Beispiel ist super jetzt habe ich es auch verstanden. Nochmals danke URL
Lg the.noob
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