Wachstumsrate einer Fichte

05.03.2022, 19:21

Babalou20

Wachstumsrate einer Fichte

Meine Frage:
In einem Wald wurden Fichten gepflant, zu Beginn der Messung haben alle Fichten eine Höhe von 50cm.
Die Wachstumsrate wird für t>0 durch $\begin{eqnarray*} w(t)=60 \cdot e^{-\frac{(t-40)^2}{3000}} \end{eqnarray*}$ definiert (t Zeit der Pflanzung in Jahren, w(t) Wachstumsrate in cm/Jahr).
Die Höhe der Fichten 40 jahre nach der Pflanzung soll mit folgendem Term berechnet $\begin{eqnarray*} 50 + \frac{w(40)+w(0)}{2} \cdot 40 \end{eqnarray*}$ werden. Ist dieser Term zur Berechnung geeignet?

Meine Ideen:
Hallo smile

Ich bin grade fürs Mathe Abi am Üben.
An dieser Aufgabe hänge ich leider. Die 50 stehen für die 50 cm, die 40 für die 40 Jahre - aber der Bruch ergibt da keinen Sinn. Ich stelle mir da ein Rechteck im Koordinatensystem vor, was dann halbiert wird... Aber so wirklich Sinn macht das für mich nicht. Über Hilfe würde ich mich sehr freuen! smile

05.03.2022, 20:14

klauss

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RE: Wachstumsrate einer Fichte
Um den Größenzuwachs über 40 Jahre zu berechnen, müßte man $\begin{eqnarray*} w(t) \end{eqnarray*}$ über diesen Zeitraum integrieren. Das ist aber nicht elementar möglich.
Daher wird ein Term vorgeschlagen, bei dem man die Fläche unter $\begin{eqnarray*} w(t) \end{eqnarray*}$ zwischen 0 und 40 annähert durch eine Rechtecksfläche mit der Breite 40 und der Höhe des arithmetischen Mittels der Wachstumsraten an den Intervallgrenzen.
Zu beurteilen ist also, ob die Annäherung brauchbar ist, indem man die beiden grau schraffierten Flächen miteinander vergleicht. Wenn die in guter Näherung gleich groß sind, wäre der Term zur Berechnung geeignet.

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05.03.2022, 20:27

Babalou20

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Ahhh super, vielen Dank, das mit dem arithmetischen Mittel macht Sinn - vielen Dank!

Und was würdest du sagen, ob es zur Näherung brauchbar ist?
Reicht es zu sagen, dass es das ganze grob annähert, aber nicht genau wiedergibt?

05.03.2022, 20:42

klauss

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Zitat:

Reicht es zu sagen, dass es das ganze grob annähert, aber nicht genau wiedergibt?

Das ist ja das Wesen einer Näherung, deshalb würde ich das nicht sagen.
Ich würde sagen, die Näherung unterschätzt den tatsächlichen Zuwachs gemäß Modell etwas, da aufgrund des abflachenden Verlaufs des Modells nach 20 Jahren das arithmetische Mittel zu klein ausfällt.
Andererseits beträgt die Abweichung der Schätzung vom Modellwert nur ca. 5 %, was vertretbar erscheint. Das bleibt allerdings letztlich den Anforderungen der Praxis überlassen.

05.03.2022, 21:05

Babalou20

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RE: Wachstumsrate einer Fichte
Alles klar smile

Darf ich dir noch eine letzte Frage für heute stellen?

Der Exponent von der Funktion w(t) ist die Gleichung einer Parabel. Kann ich daraus irgendwas für den Funktionsgraphen ablesen? Ein teil der Funktion (0 <= t<= 80) verläuft wohl parabelförmig. Woraus kann ich das schließen? Bei t=40 müsste ja der Scheitelpunkt liegen, aber kann ich aus der Funktion ablesen, in welchem Bereich der Graph parabelförmig ist? Und ist das immer so, wenn der Exponent einer e-Funktion eine quadratische Funktion ist?
Wenn im Exponent eine andere Funktionsart wäre, kann man daraus auch etwas schließen?

Vielen, vielen Dank für deine Hilfe!! Du rettst mir den Abend smile

05.03.2022, 21:55

klauss

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RE: Wachstumsrate einer Fichte
Hm, ich würde eher so rangehen, dass ich mir die wichtigsten Eigenschaften des Graphen zu $\begin{eqnarray*} f(t)=e^{-t^{2} } \end{eqnarray*}$ überlege, alsda
- achsensymmetrisch
- immer > 0
- größter Funktionswert bei t=0
denn in $\begin{eqnarray*} w(t) \end{eqnarray*}$ hat demgegenüber nur eine Verschiebung in x-Richtung und Stauchung stattgefunden.
Wichtig hier, dass die Parabel im Exponenten nach unten geöffnet ist, wodurch die Exponentialfunktion in beiden Richtungen gegen 0 geht.
Als Parabel-ähnlicher Teil der e-Funktion käme also der Abschnitt in Frage, wo der Graph auf den höchsten Punkt zuläuft und sich wieder entfernt, begrenzt durch 2 Wendepunkte, die es geben muß, da der Graph sich auf lange Sicht an die x-Achse anschmiegen muß.

Ähnliche Überlegungen kann man auch für allgemeine quadratische Funktionen anstellen, die sich immer in Scheitelform bringen lassen. Dann hat man
$\begin{eqnarray*} e^{a(x-x_{S})^{2}+y_{S} } =e^{y_{S}}\cdot e^{a(x-x_{S})^{2}} \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ sieht der Graph natürlich anders aus.

Noch allgemeiner mag ich die Frage jetzt nicht untersuchen, da müßte ich mir auch erst selbst Gedanken machen.

06.03.2022, 07:36

Babalou20

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RE: Wachstumsrate einer Fichte
Ok, danke sehr für deine ausführlichen Antworten!! smile

07.03.2022, 10:19

HAL 9000

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Die Termstruktur $\begin{eqnarray*} w(t)=60 \cdot e^{-\frac{(t-40)^2}{3000}} \end{eqnarray*}$ lacht einen Stochastiker wie mich natürlich regelrecht an:

Sie entspricht (bis auf den Vorfaktor) der Dichte der Normalverteilung $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}\left(40,1500\right) \end{eqnarray*}$ , bei der ist der Vorfaktor stattdessen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{3000\pi}} \end{eqnarray*}$ . Insofern gilt

$\begin{eqnarray*} h(t) = h(0) + \int\limits_0^t w(\tau) ~ \dd\tau = 50 + 60\sqrt{3000\pi} \cdot \left( \Phi\left(\frac{t-40}{\sqrt{1500}}\right) - \Phi\left(-\frac{40}{\sqrt{1500}}\right) \right) \end{eqnarray*}$ .

Mit dieser Darstellung ergibt sich $\begin{eqnarray*} h(40) \approx 2084 \end{eqnarray*}$ , also 20,84m. Diese exakte Berechnung ist jetzt nicht Bestandteil der Aufgabe, aber kann als Vergleichswert dienen.

Ich finde die obige Näherung schon ziemlich grob. Mit der nur unwesentlich aufwändigeren Keplerschen Fassregel $\begin{eqnarray*} 50 + \frac{w(40)+4\cdot w(20)+w(0)}{6} \cdot 40 \end{eqnarray*}$ ist man DEUTLICH näher am richtigen Ergebnis. Im übrigen entspricht Kepler ja auch dem Vorgehen, die Kurve $\begin{eqnarray*} w(t) \end{eqnarray*}$ durch eine Parabel mit den drei Stützpunkten bei $\begin{eqnarray*} t=0,20,40 \end{eqnarray*}$ zu approximieren und deren Integral zu bestimmen.

10.03.2022, 09:30

Babalou20

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Danke HAL 9000 smile

Das wurde im Grundkurs alles gar nicht besprochen Augenzwinkern

Ich glaube eine grobe Einschätzung reicht hier (hoffentlich).

10.03.2022, 09:54

HAL 9000

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Ja, dass mit dem $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ -Kram muss sicher nicht sein, diente nur zur Berechnung des exakten Vergleichswertes. Aber nochmal zur Übersicht:

1) Exakter Wert: $\begin{eqnarray*} h(40) \approx 2083.76 \end{eqnarray*}$

2) Näherungswert Trapezformel: $\begin{eqnarray*} 50 + \frac{w(40)+w(0)}{2} \cdot 40\approx 1953.98 \end{eqnarray*}$

3) Näherungswert Kepler-Fassformel: $\begin{eqnarray*} 50 + \frac{w(40)+4\cdot w(20)+w(0)}{6} \cdot 40\approx 2084.94 \end{eqnarray*}$

Da ist 3) doch schon ein ganz guter Näherungswert.

16.03.2022, 08:57

Babalou20

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Super, danke smile

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