x/y/z - Gleichungssystem

06.03.2022, 12:15

hadiwi

x/y/z - Gleichungssystem

x² -xy -xz = 5
y² - yz - xy = - 4
z² - xz - yz = - 7

Ich kenne die Lösungen, aber nicht den Rechenweg dahin.
Wer kann den hier nachvollziehbar aufzeigen.
Bitte aber keine guten Ratschläge.

06.03.2022, 12:37

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} x^2 - xy - xz = 5\qquad (1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y^2 - yz - xy = -4\qquad (2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z^2 - xz - yz = -7\qquad (3) \end{eqnarray*}$

(1)-(2) ergibt $\begin{eqnarray*} x^2 -y^2 - xz + yz = (x-y)(x+y-z) = 9\qquad (4) \end{eqnarray*}$ .

7*(4)+9*(3) ergibt $\begin{eqnarray*} (7x-7y-9z)(x+y-z)=0 \end{eqnarray*}$ , wegen (3) ist aber $\begin{eqnarray*} x+y-z\neq 0 \end{eqnarray*}$ , somit gilt
$\begin{eqnarray*} 7x-7y-9z = 0\qquad (5) \end{eqnarray*}$ .

(1)-(3) ergibt $\begin{eqnarray*} x^2-z^2-xy+yz = (x-z)(x+z-y) = 12\qquad (6) \end{eqnarray*}$ .

(6)+3*(2) ergibt $\begin{eqnarray*} (x-z-3y)(x+z-y) = 0 \end{eqnarray*}$ , und da wegen (2) ja $\begin{eqnarray*} x+z-y\neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt, folgt hier
$\begin{eqnarray*} x-z-3y = 0\qquad (7) \end{eqnarray*}$

(5),(7) führt zu $\begin{eqnarray*} x=10y,z=7y \end{eqnarray*}$ und damit dann den beiden Lösungen $\begin{eqnarray*} x=5,y=\frac{1}{2},z=\frac{7}{2} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} x=-5,y=-\frac{1}{2},z=-\frac{7}{2} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von hadiwi
Bitte aber keine guten Ratschläge.

Bitte keine solchen unreifen Vorschriften für Helfer.

06.03.2022, 14:07

hadiwi

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Vielen Dank!
Das sind die Lösungen, die ich kenne.
Ihre Herleitung muss ich mir noch in Ruhe anschauen.

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