Isomorphismus von Kompositionen linearer Abbildungen

06.03.2022, 18:29

the.noob

Isomorphismus von Kompositionen linearer Abbildungen

Meine Frage:
Hallo liebe Community,
ich sitze gerade an einer Aufgabe wo ich nicht weiterkomme.
Es ist V als R-VR gegeben und f:V->V ist eine lineare Abbildung
Ich soll zeigen dass folgende Aussagen äquivalent sind
(1)f ist ein Isomorphismus
(2)Für alle 1<=n element N ist f^n ein Isomorphismus
(3) Es gibt ein 1<=N, so dass f^n ein Isomorphismus ist

Ich hoffe ich habe die Aufgabe verständlich rübergebracht

Meine Ideen:
Mir fehlt die Richtung 3 zu 1
Meine Idee ist eine Fallunterscheidung zu machen für n=1 und n>1
Für n=1 folgt die Aussage 1 sofort
Für n > 1 komme ich nicht ganz weiter
Ich habe mir bei der Aufgabe überlegt, dass man in (3) ja schon einen Isomorphismus von f benötigt, weil man immer wieder von V nach V abbildet nämlich n-mal (n>1)
Weiß aber leider nicht wie ich das aufschreiben soll
Danke für eure Hilfe
Lg the.noob

06.03.2022, 18:59

IfindU

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RE: Isomorphismus von Kompositionen linearer Abbildungen

Zitat:

Original von the.noob
Es ist [...] f:V->V ist eine lineare Abbildung
[...]
Ich habe mir bei der Aufgabe überlegt, dass man in (3) ja schon einen Isomorphismus von f benötigt, weil man immer wieder von V nach V abbildet nämlich n-mal (n>1)

Dafür brauchst du keinen Isomorphismus, dafür würde bereits ein Endomorphismus reichen. Und das ist ja tatsächlich gefordert. Was du zeigen musst ist, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bijektiv ist, wenn $\begin{eqnarray*} f^n \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$ bijektiv ist.

Für Injektivität: Seien $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) = f(y) \end{eqnarray*}$ . Dann ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} x= y \end{eqnarray*}$ . Was passiert denn wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} f(x) = f(y) \end{eqnarray*}$ anwendest, was kannst du folgern? Was wenn du es noch einmal anwendest?

Zur Surjektivität: Für jedes $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ finde $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) =y \end{eqnarray*}$ . Weil $\begin{eqnarray*} f^n \end{eqnarray*}$ surjektiv ist, gibt es ein $\begin{eqnarray*} x' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f^n(x') = y \end{eqnarray*}$ . Daraus kann man ein solches $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ explizit definieren.

06.03.2022, 20:00

the.noob

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Danke für die schnelle Antwort.

Dann müsste ich bei der Injektivität immer wieder f anwenden und könnte wegen dem Isomorphismus von f^n immer wieder sagen f(x^n) = f(y^n) (das hoch n soll den äußersten Eintrag im Argument darstellen) und dann immer so weiter (f(x^n-1)=f(y^n-1)...) bis zur innersten Klammer im Argument. Das müsste dann x bzw y auf der anderen Seite sein und damit dass was zu zeigen war, wenn ich jetzt keinen Denkfehler habe.
Dein Ansatz zur Surjektivität hat mir auch sehr weitergeholfen. Dann müsste mein x das f(x´´´´...) in der äußersten Klammer im Argument von f^n sein. Da f^n nach Voraussetzung ein Isomorphismus ist, liefert mir f^n für jedes y element V ein x, s.d. f(x) =y nämlich das äußerste f(x´´´´...) aus der Komposition von der Abbildung f
Ist es das was du meintest?
LG
the.noob

07.03.2022, 08:10

IfindU

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Es ist vielleicht richtig. Ich kenne die Formulierungen wie "äußerster Eintrag im Argument" nicht. Der Beweis passt jeweils auf eine Zeile, und dafür scheint es mir sehr komplex was du schreibst. Heute noch einmal mit einem frischen Kopf dran Augenzwinkern

07.03.2022, 12:39

the.noob

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Ok. Müsste ich das dann auch so von 1 nach 2 machen ?
PS. Irgendwie kann ich hier keine Bilder hochladen. Es kommt immer die Meldung"entity to large". Wenn das die Größe der Datei meint dann kann das nicht sein, da ich da noch bei kb bin. Weiß jemand wo das Problem liegen könnte
LG the noob

07.03.2022, 14:28

Finn_

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Im Allgemeinen gelten für zwei beliebige Abbildungen $\begin{eqnarray*} f\colon X\to Y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g\colon Y\to Z \end{eqnarray*}$ die Regeln

Ist $\begin{eqnarray*} g\circ f \end{eqnarray*}$ injektiv, dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv.

und

Ist $\begin{eqnarray*} g\circ f \end{eqnarray*}$ surjektiv, dann ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ surjektiv.

Für $\begin{eqnarray*} n\ge 1 \end{eqnarray*}$ darf man $\begin{eqnarray*} f^n \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} f^{n-1}\circ f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f\circ f^{n-1} \end{eqnarray*}$ zerlegen.

Damit sollten sich die Aufgabenstellung und die bisher gemachten Überlegungen aufräumen lassen, dergestalt wie die Faktorisierung eines Computerprogramms vonstatten geht.

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