Summe zweier positiver Quadratzahlen

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Bonbon2007 Auf diesen Beitrag antworten »
Summe zweier positiver Quadratzahlen
Meine Frage:
man kann die Zahl 3^n (3 hoch n) NICHT als Summe zweier positiver Quaratzahlen darstellen, n ist positiv ganze Zahl? wie kann man sowas beweisen?

Meine Ideen:
mein erste Gedanken?3^n ist eine ungerade Zahl, die Summe der Quaraten (a.a + b.b) soll normalerweise die Form 4k + 1 haben, also wenn ich zeigen kann, dass 3^n nicht in dieser Form, also 4k + 1 umgeformt werden kann, dann ist das Gegenteil bewiesen! aber wie
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zahlentheorie - summe zweier positiver Quaratzahlen
Wenn es solche Paare von Quadratzahlen gäbe, dann müsste es auch Paare geben, die nicht beide durch teilbar sind. Seien nämlich und beide durch teilbar, also und ,dann folgt aus





Wären und noch immer beide durch teilbar, kann man das Verfahren fortsetzen, bis man zu einem Paar kommt, bei dem nicht beide teilbar sind. Es kann aber offensichtlich auch nicht genau eine Zahl des Paares durch teilbar sein. Es müssen beide durch teilbar sein oder beide nicht teilbar sein. Noch obigem müsste es also Paare geben, bei denen und beide nicht durch teilbar sind. Jetzt fehlt nur noch ein kleiner Schritt. Zeige, dass dann auch nicht durch teilbar ist, es also solche Paare nicht geben kann.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann im ersten Teil alternativ auch so argumentieren: Angenommen, es gibt Lösungen. Dann betrachten wir unter allen Lösungen eine mit dem KLEINSTEN . Sind nun durch 3 teilbar, dann folgt mit Huggys Argumentation , womit auch Lösung wäre, Widerspruch zur Minimalität von .
Bonbon2007 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zahlentheorie - summe zweier positiver Quaratzahlen
cool! ich glaube ich habe das Prinzip verstanden. Danke!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Noch obigem müsste es also Paare geben, bei denen und beide nicht durch teilbar sind. Jetzt fehlt nur noch ein kleiner Schritt. Zeige, dass dann auch nicht durch teilbar ist

Der Teil ist auch klar?
Bonbon2007 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es ist klar. a und b beide nicht teilbar durch 3, also a=3.m+1 oder 3.m+2, b=3.n+1 oder b=3.n+2, dann muss man 4 Fälle betrachten…
Fall 1) a=3m+1 und b=3n+1:
a^2 + b^2 = 9m^2 + 6m + 1 + 9n^2 + 6n + 1 => nicht teilbar durch 3
Fall 2) a=3m+1 und b=3n+2:
... analog
ich bekomme immer als Ergebnis nicht teilbar durch 3, d.h. es gibt kein a und b, so dass a^2 + b^2 = 3 ^n sein kann.

Ist es so etwa richtig?
 
 
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist richtig. Man kann sich die Sache etwas vereinfachen, wenn man den Rest bezüglich Division durch als Rest schreibt. Man hat dann





und haben bei Division durch also beide den Rest und die Summe damit den Rest .
Bonbon2007 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau!

Vielen Dank
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