Vollständige Induktion maximale Anzahl der Wendestellen bei Überlagerung logistischer Funktionen

08.03.2022, 20:45	Physiker2020	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion maximale Anzahl der Wendestellen bei Überlagerung logistischer Funktionen Hallo liebes Forum! im Rahmen einer Arbeit muss folgendes Problem gelöst werden: Ich würde gerne die maximale Anzahl der Wendestellen der Funktion $\begin{eqnarray} S_N(t):=\sum\limits_{\nu=1}^{N}\frac{s_\nu}{1+a_\nu\exp(-\lambda_{\nu}(t-t_\nu))} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \lim\limits_{t\rightarrow\infty}S_N(t)=\sum\limits_{\nu}s_\nu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \forall\nu\in\{1,...,N\}:t_{\nu+1}>t_\nu \end{eqnarray}$ bestimmen. Ich vermute folgendes $\begin{eqnarray} \max\#\left\{t\in\mathbb{R}:\frac{d^2}{dt^2}S_N(t)=0\right\}=2N-1 \end{eqnarray}$ , aufgrund von verschiedenen Plots, die ich für verschiedene N und Parameter gemacht habe. Dabei ist mir aufgefallen, dass desto näher $\begin{eqnarray} t_{\nu+1} \end{eqnarray}$ an $\begin{eqnarray} t_{\nu} \end{eqnarray}$ liegt, dass es passieren kann, dass es keinen zusätzlichen Wendepunkt geben kann. Für gleiche Parameter ist das einleuchtend, jedoch kann dass auch bei verschiedenen passieren, was mir nicht einleuchtet, leider gibt es keine analytische Lösung. Hat jemand eine Erklärung? Die Vermutung wollte ich wie folgt über Induktion beweisen: Induktionsanfang: Für N=1 ist die Aussage offensichtlich wahr, da die logistische Funktion einen Wendepunkt aufweist. Im Induktionsschritt ist dann zu zeigen, dass maximal 2N+1 Wendestellen vorliegen. Dabei wollte ich den (N+1)-ten Summanden abspalten $\begin{eqnarray} a_{N+1}\lambda_{N+1}^2s_{N+1}\left(\frac{\mathrm{e}^{\lambda_{N+1}(t-t_{N+1})}}{(a_{N+1}+\mathrm{e}^{\lambda_{N+1}(t-t_{N+1})})^2}-\frac{2\mathrm{e}^{2\lambda_{N+1}(t-t_{N+1})}}{(a_{N+1}+\mathrm{e}^{\lambda_\nu(t-t_{N+1})})^3}\right)+\frac{\mathrm{d}^2 S_N(t)}{\mathrm{d}t^2}=0 \end{eqnarray}$ . Besteht eine Möglichkeit darin, dass beide Summanden schon Null sind: Damit bekommt man einmal mit IV 2N-1 Nullstellen und eine weitere durch den abgespalteten Term. Ist das soweit richtig? Irgendetwas kommt mir hier komisch vor... Im nächsten Schritt wollte ich mit Hilfe des Zwischenwertsatzes dann zeigen, dass im Intervall $\begin{eqnarray} (t_{N};t_{N+1}) \end{eqnarray}$ eine weitere Nullstelle finden lässt (abhängig von der Wahl der Parameter). Sodass dann 2N+1 tatsächlich vorliegen. Ist das Vorgehen so richtig? Hat jemand vllt ein Tipp oder sogar einfachere Alternative? Vielen Dank für jede Hilfe... LG

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