Zahlentheorie

08.03.2022, 22:13	Hansi1	Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlentheorie Meine Frage: Man ermittle die Anzahl aller Zahlen der Form $\begin{eqnarray} a^2+b^2 , (x, y \in \{1, 2, 3, ... , 1000\}) \end{eqnarray}$ die durch 121 teilbar sind. Meine Ideen: Man kommt ja schnell auf die maximale Anzahl 4095, aber ich komme nicht mit den unterschiedlichen Darstellungen der Summen zweier Quadrate zurecht. Ein Computerprogramm liefert mir die Lösung 3009, aber kann man das auch mathematisch begründen?
08.03.2022, 22:15	Hansi1	Auf diesen Beitrag antworten »
a,b und x,y sollen gleich sein...
08.03.2022, 23:06	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, mit den Vereinfachungen, die du schon durchdacht hast, geht es um die Kardinalität der Menge $\begin{eqnarray} M = \left\{ u^2+v^2 \bigm\| u,v\in\mathbb{N}\mbox{ mit }1\leq u\leq v\leq 90\right\} \end{eqnarray}$ , um mal den unnötigen Quatsch mit der 121 etc. zu entfernen. Wie man die Mehrfachnennungen von Zahlen $\begin{eqnarray} u^2+v^2 \end{eqnarray}$ quantitativ genau erfasst, habe ich abgesehen von Bruteforce aber auch keine schlüssige Idee. Was unmittelbar klar ist, dass für alle Zahlen $\begin{eqnarray} n\in M \end{eqnarray}$ gelten muss, dass deren Primfaktorzerlegung Primfaktoren kongruent 3 modulo 4 nur in gerader Potenz enthalten dürfen, da sie ansonsten nicht in der Form $\begin{eqnarray} n=u^2+v^2 \end{eqnarray}$ darstellbar sind. Allerdings ist das eine notwendige Forderung an $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , keine hinreichende. P.S.: Falls das eines dieser Probleme des "Projekt Euler" (https://projecteuler.net) ist, dann ist es durchaus normal, dass man Teilaspekte mit Computer-Hilfe löst.
09.03.2022, 11:27	Hansi1	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Mathelehrerin meinte, dass das Problem mal in einer IMO Auswahlklausur gestanden haben soll.
09.03.2022, 15:00	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja - hier die Musterlösung [attach]54683[/attach]
09.03.2022, 15:06	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die "Lösung", oder sagen wir besser Aufklärung der Geschichte. Dann wohl doch Bruteforce für diesen zweiten Lösungsteil. P.S.: Ich hatte auch schon den Verdacht, dass es um die Anzahl der Paare $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ bzw. dann $\begin{eqnarray} (u,v) \end{eqnarray}$ (sei es geordnet oder nicht) geht statt um die Anzahl der Quadratsummenwerte. Allerdings kam mir das dann nun wieder zu einfach vor für IMO-Auswahlklausur, das wäre eher was für Regionalrunde Mathematikolympiade.
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