Wertebereich und f(x)>0 beweisen

11.03.2022, 14:50

E-Technik

Wertebereich und f(x)>0 beweisen

Hey!

ich habe folgende Funktion gegeben:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{2-x}{x-1} \end{eqnarray*}$

Und versuche folgendes lückenlos zu beweisen:
$\begin{eqnarray*} \forall x\in D:1<x<2 \Leftrightarrow f(x)>0 \end{eqnarray*}$

Also, dass die Funktion für diesen Intervall größer 0 ist...
versuche mich so ein bisschen an eine formale Schreibweise.

Ebenso will ich beweisen, dass der Wertebereich $\begin{eqnarray*} f(D)=\mathbb R/\left\{ -1\right\} \end{eqnarray*}$ ist.

Sollte eigentlich einfach sein - bekomme ich nicht hin. traurig

Bei Ersterem habe ich mir das so vorgestellt:

$\begin{eqnarray*} f(x)>0 \Leftrightarrow \frac{2-x}{x-1}>0 \Leftrightarrow x<2 \end{eqnarray*}$
Da x-1 > 0.

Nun habe ich das gewünschte x<2, aber auf die x>1 komme ich einfach nicht richtig hin.

Ebenso frage ich mich, wie ich einen Wertebereich beweisen soll. Ich kenne die vollständige Induktion, die dürfte mir ja aber hier nicht helfen. Muss ich sowas überhaupt beweisen?

Drei Beiträge zusammengefasst. Steffen

11.03.2022, 15:50

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} \frac{2-x}{x-1} \end{eqnarray*}$ ist genau dann positiv, wenn Zähler und Nenner dasselbe Vorzeichen haben.

1.Fall: beide positiv, d.h. $\begin{eqnarray*} 2-x>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x-1>0 \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet umgeformt $\begin{eqnarray*} 1<x<2 \end{eqnarray*}$ .

2.Fall: beide negativ, d.h. $\begin{eqnarray*} 2-x<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x-1<0 \end{eqnarray*}$ . Bedeutet $\begin{eqnarray*} x>2 \end{eqnarray*}$ UND $\begin{eqnarray*} x<1 \end{eqnarray*}$ , was zugleich nicht geht.

Zitat:

Original von E-Technik
Ebenso will ich beweisen, dass der Wertebereich $\begin{eqnarray*} f(D)=\mathbb R/\left\{ -1\right\} \end{eqnarray*}$ ist.

Der Darstellung $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{2-x}{x-1} = -1+\frac{1}{x-1} \end{eqnarray*}$ kann man schon mal entnehmen, dass -1 als Funktionswert unmöglich ist, da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-1} \end{eqnarray*}$ niemals Null werden kann. Für jedes andere $\begin{eqnarray*} y\neq -1 \end{eqnarray*}$ kannst du ja mal versuchen, ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} -1+\frac{1}{x-1}=y \end{eqnarray*}$ zu finden...

12.03.2022, 12:50

E-Technik

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Oh, das leuchtet ein, danke!

Ich habe die Aufgabe nun testweise erweitert, dass f(x)>-1 sein muss. Dann würden ja noch zwei zusätzliche Fallunterscheidungen für das negative Vorzeichen auftreten:

3. Fall: positiver Nenner, negativer Zähler
$\begin{eqnarray*} f(x) > -1 \Leftrightarrow \frac{-(2-x)}{x-1} > -1 \Leftrightarrow x > \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

4. Fall: negativer Nenner, positiver Zähler
$\begin{eqnarray*} f(x) > -1 \Leftrightarrow \frac{2-x}{-(x-1)} > -1 \Leftrightarrow x > \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Dann wäre die Lösungsmenge: $\begin{eqnarray*} 2 \geq x > 1 \vee x > \frac{3}{2} \Leftrightarrow x > 1 \end{eqnarray*}$

Oder?

12.03.2022, 14:38

Huggy

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$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{2-x}{x-1} >-1 \Leftrightarrow \frac{2-x}{x-1}+1>0 \end{eqnarray*}$

Jetzt vereinfache die linke Seite der rechten Ungleichung. Dann solltest die richtige Lösung sehen. Es ist auch nicht ehrenrührig, sich die Funktion zunächst mal zu plotten. Dabei entdeckt man oft Gedankenfehler.

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