Warum darf man eigentlich abschätzen, bei der Konvergenz?

11.03.2022, 16:42	chukibuerger	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum darf man eigentlich abschätzen, bei der Konvergenz? Meine Frage: Hi, ich habe die Aufgabe ( ( (7 - n^(-1))^n ) / (8^n + n^(-2)) ) gegeben, ich soll hier erstmal sagen, ob es eine Konvergenz gibt oder nicht. Ich habe mir gedacht naja, ich kann ja n^(-1) im Zähler umschreiben zu 1/n und das ist ja, wenn ich das gegen unendlich laufen lasse =0. Unten habe n^(-2) im Nenner, umgeschrieben 1/n^2, das ist, wenn ich das gegen unendlich laufen lasse auch 0. Also habe ich ja abgeschätzt ( ( (7 - 0)^n ) / (8^n + 0) ) und somit: (7^n)/(8^n) oder auch (7/8)^n und man weiß ja (\|x\|<1)^n läuft gegen null. So könnte ich ja eigentlich begründen, dass es gegen 0 läuft. Was ich nicht kapiere, warum darf ich eigentlich so abschätzen? Ich weiß, dass ich so abschätzen kann, aber nicht warum es legitim ist. (7/8)^n ist ja >( ( (7 - n^(-1))^n ) / (8^n + n^(-2)) ) abgeschätzt oder? Dürfte ich auch z. B. nach unten abschätzen also: irgendetwas < ( ( (7 - n^(-1))^n ) / (8^n + n^(-2)) ) und wann weiß ich, dass solche fragen legitim sind? Meine Ideen: Meien Idden sind alle oben, habe die da eingebunden. Zumindest der Umforumg
11.03.2022, 18:28	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Ergebnis stimmt, aber der Weg dahin ist ein wenig haarsträubend. Bei der Grenzwertbildung dürfen die einzelnen Terme niemals einzeln betrachtet werden, denn sie bilden eine Gesamtheit und beeinflussen sich gegenseitig. Beispiel: $\begin{eqnarray} a_n=\left(\frac 1n \right)^{\frac 1n} \end{eqnarray}$ müsste mit deiner Begründung gegen 0 konvergieren, weil $\begin{eqnarray} \frac 1n \end{eqnarray}$ gegen 0 geht. Dabei würde man vollkommen vernachlässigen, dass gleichzeitig der Exponent auch immer kleiner wird und dadurch die Ergebnisse größer werden. Tatsächlich ist das Ergebnis in diesem Beispiel nicht 0, sondern 1. Daher kannst Du nicht einfach sagen, dass in deinem Term $\begin{eqnarray} n^{-1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n^{-2} \end{eqnarray}$ gegen 0 gehen und somit der Term ignoriert werden kann, sondern Du solltest Zähler und Nenner einzeln abschätzen. Im Zähler mit einem kleineren Wert, im Nenner einen größeren. Dadurch wird der abgeschätze Term größer und Du kannst das Majorantenkriterium anwenden: Finde eine größere konvergente Nullfolge und Du weißt, dass deine Folge auch gegen Null konvergiert, sofern sie postiv ist.

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