"Wie man mathematisch denkt" Lösung ok ?

11.03.2022, 19:03

Xanthin78

"Wie man mathematisch denkt" Lösung ok ?

Hallo zusammen,

hier habe ich ein Projekt gestartet, um nach und nach Lösungen
für das Buch "Wie man mathematisch denkt" zu sammeln sodass
andere die mit dem Buch arbeiten ihre Lösungen zu den Aufgaben prüfen können.

Wie man mathematisch denkt Lösungsthread

Ich weiß noch nicht ob ich einen Thread mache und alles reinpacke
oder ob ich öfters einen neuen Thread erstelle.

Die ersten Aufgaben waren noch in der Lösungs-PDF im Internet vorhanden

Jetzt bin ich auf eure Hilfe hier angewiesen.

Ich poste die Aufgabe und meine Lösung und würde mich freuen wenn jemand die Lösung "bestätigt" oder mir Hinweise gibt.

Danke im Voraus Freude

Übung 1.24

Bestimmen Sie Vereinigung und Durchschnitt von
$\begin{eqnarray*} \{x \in \mathbb{R}~|~x>7\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{x \in \mathbb{N}~|~x>5\} \end{eqnarray*}$

Lösung

Vereinigung $\begin{eqnarray*} \{x \in \mathbb{R}~|~x>7~~oder~~x=6~~oder~~x=7\} \end{eqnarray*}$

Durchschnitt $\begin{eqnarray*} \{x \in \mathbb{N}~|~x>7\} \end{eqnarray*}$

11.03.2022, 19:19

IfindU

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Das ist richtig.

Zitat:

Vereinigung $\begin{eqnarray*} \{x \in \mathbb{R}~|~x>7~~oder~~x=6~~oder~~x=7\} \end{eqnarray*}$

Kann man noch etwas kürzer schreiben mit $\begin{eqnarray*} \{x \in \mathbb{R}~|~x\geq7~~\text{oder}~~x=6\} \end{eqnarray*}$ .

Je nach Vorliebe kann man auch

Zitat:

Durchschnitt $\begin{eqnarray*} \{x \in \mathbb{N}~|~x>7\} \end{eqnarray*}$

schreiben als $\begin{eqnarray*} \{x \in \mathbb{N}~|~x\geq 8\} \end{eqnarray*}$

11.03.2022, 19:30

Xanthin78

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Hallo IfindU

danke für die schnelle Antwort.

Deine verkürzte Schreibweise bei der Vereinigung finde ich gut, die werde ich übernehmen.

Viele Grüße
Xanthin

14.03.2022, 13:39

Xanthin78

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Übung 1.33 (iii)
Hallo zusammen,

hier wieder meine Bitte die ( eine von vielen ) Lösungen zu prüfen.

Aufgabe:
Konstruieren Sie ein Polynom, dessen Graph durch die Punkte (-1,5) und (3,-2) geht.

In der englischen Lösungspdf, steht dazu folgendes ( in Englisch )

(iii) Many answers are possible. Hint:
We can always find a line between two points in the plane so we could use a
linear function such as f(x) = ax+b where a and b are determined by using the
equations f(-1) = 5 and f(3) = -2. One you have mastered the idea behind
this try finding a quadratic whose graph passes through the points. Then move
on to functions involving higher orders or sines, cosines and the exponential
function.
Exercises

Ich habe hier "nur" ein Polynom ersten Grades genommen

Lösung:

$\begin{eqnarray*} f(x)=-\frac{7}{4}x+\frac{13}{4} \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Xanthin

14.03.2022, 13:50

IfindU

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Auch das stimmt. Du kannst ja leicht die Probe machen. Setze $\begin{eqnarray*} x = -1 \end{eqnarray*}$ , ist dann $\begin{eqnarray*} f(x) = 5 \end{eqnarray*}$ ? Analog mit $\begin{eqnarray*} (3,2) \end{eqnarray*}$ .

14.03.2022, 14:07

Xanthin78

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Vielen Dank,

ja ich habe sogar die Probe gemacht, bin aber wegen einer schweren Krankheit
Anfang des Jahres mental noch nicht so fit, daher meine Unsicherheit wo eigentlich keine seien müßte.

Viele Grüße
Xanthin

14.03.2022, 15:16

Helferlein

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Da Deine Intention ist, eine Sammlung von Lösungen zu den Aufgaben zu erstellen, die anderen helfen soll, wäre es aber doch sinnvoll weitere Lösungen zu bestimmen.
Beispielsweise gilt für jede Polynomfunktion mit p(-1)=p(3)=1, dass $\begin{eqnarray*} p(x) \cdot f(x) \end{eqnarray*}$ auch eine Lösung des Problems ist.

14.03.2022, 17:01

Xanthin78

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Generell stimme ich Dir hier zu.

Ich muss jedoch zugeben, dass das was Du als weitere Lösung geschrieben hast,
ich nicht in der Lage bin zu verstehen. Anscheinend habe ich hier
nicht die erforderlichen Vorkenntnisse, oder ein sehr großes Brett vor dem Kopf.

Die Frage ist, muss ich es verstehen oder reicht es wenn die von Dir zusätzliche
Lösung im Thread eingebettet wird.

14.03.2022, 17:58

Helferlein

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Nach, verstehen musst Du es nicht unbedingt aber für die Entwicklung des mathematischen Denkens (Wenn ich eine Lösung habe, kann ich daraus weitere gewinnen?) wäre es natürlich nicht verkehrt.
Um einen anderen Weg zu gehen: Wann verläuft f(x)=ax^2+bx+c durch die beiden Punkte?
Erster Punkt: 5=a-b+c
Zweiter Punkt: -2=9a+3b+c
Folgerung: $\begin{eqnarray*} a=-\frac 78-\frac b2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c=\frac{47}8+\frac{3b}2 \end{eqnarray*}$

Somit erfüllt z.B. auch $\begin{eqnarray*} f(x)=-x^2+\frac 14 x+\frac{25}4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)=x^2-\frac{15}4 x+\frac 14 \end{eqnarray*}$ die Bedingung.

14.03.2022, 20:47

Xanthin78

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Der Punkt geht an Dich smile

Wenn ich mich mit dem Buch "Wie man mathematisch denkt" beschäftige
ist es ja mein Ziel, das mathematische Denken zu "erlernen" aufdass es mir
im bevorstehenden Modul "Mathematische Grundlagen" im Studium der Fernuni Hagen hilft.

Ich danke Dir für die Impulse an mich, ich habe jedoch die Befürchtung
das Du diaktisch weit runter musst um mich abzuholen.

Ich habe im Vorfeld bei dieser Aufgabe ja auch überlegt das es ja auch ein quadratische Lösung
geben muss. Was ich nicht auf dem Schirm hatte ist die Sache das die Parabell
ja auch nach unten offen sein kann. Wenn ich mich recht entsinne
war das -x^2 der Hinweis dafür

Im Netz hatte ich einiges gefunden, das man mit linearen Gleichungssystemen
auf die Lösung kommt, wobei dort hatte ein Punkt ein Null im X oder Y Wert.
Hatte das auch nicht weiter verfolgt.

Ich habe so eine grobe Idee was Du im Post beschreibst, aber mehr nicht

Zitat:

Erster Punkt: 5=a-b+c

f(x) ist ja der Y-Wert also 5
Aber wie du auf a-b+c kommst weiß ich nicht ( wahrscheinlich ist dass das Endergebnis von Umstellungen

Dasselbe gilt dann für:

Zitat:

Zweiter Punkt: -2=9a+3b+c

Und da diese Punkte nicht verstehe, komme ich auch bei der Folgerung nicht hinterher.

Kennst Du vielleicht das Buch " Brückenkurs Mathematik" 5 Auflage von Guido Walz, Frank Zeilfelder und Thomas Rießinger. Dort hatte ich mal angefangen bis Seite 263
Das Kapitel heißt Differenzial- und Integralrechnung und das Teilkapitel
ist Erste Ableitung von Funktionen und Ableitungsregeln
Da geht es um Ableitungen, habe dort aber wegen meiner Krankheit länger nicht mehr weiter gelernt.
Ich denke für die Helfenden hier ist nicht immer leicht richtig zu antworten da sie ja
nicht den Kenntnisstand des Fragenden kennen. Vielleicht hilft dir das mich besser einzuschätzen.

Ich danke Dir auf jeden Fall für die Geduld mit mir. Freude

Viele Grüße Xanthin

15.03.2022, 00:25

Helferlein

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OK, dann also noch etwas ausführlicher:
Wir suchen eine Funktion $\begin{eqnarray*} (*)~f(x)=ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft, dass die Punkte P(-1/5) und Q(3/-2) auf dem Graphen liegen sollen.

Damit das erfüllt ist, muss f(-1)=5 und f(3)=-2 gelten.
Setzen wir dies in die Funktionsgleichung (*) ein, ergeben sich die beiden Gleichungen

$\begin{eqnarray*} (1)~5=f(-1)=a \cdot (-1)^2+b \cdot (-1)+c=a-b+c \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} (2)~-2=f(3)=a \cdot 3^2+b \cdot 3 +c = 9a+3b+c \end{eqnarray*}$

Wenn Dir Gauß-Algorithmus etwas sagen würde, würdest Du die zweite Gleichung von der ersten abziehen und erhieltest 7=-8a-4b, was zu der ersten von mit genannten Gleichung $\begin{eqnarray*} a=-\frac {7+4b}{8} = -\frac 78 - \frac b2 \end{eqnarray*}$ führt.
Ohne Algorithmus sollte man die erste Gleichung nach c umformen und in die zweite einsetzen : -2=9a+3b+(5-a+b)=8a+5+4b. Dies nach a umgeformt ergibt dieselbe Gleichung wie oben.

Setzen wir nun das Ergebnis in die Gleichung (1) ein und formen nach c um, ergibt das die zweite Gleichung von mir $\begin{eqnarray*} c=5-a+b=5+\frac 78 + \frac b2 +b=\frac{47}8+\frac{3b}2 \end{eqnarray*}$

Insgesamt erfülllt also die quadratischen Funktionsschar $\begin{eqnarray*} f_b(x)=\left( -\frac 78 - \frac b2 \right)x^2+bx+\frac{47}8+\frac{3b}2 \end{eqnarray*}$ die gewünschte Bedingung.

15.03.2022, 12:42

mYthos

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Zitat:

Original von Xanthin78
... Was ich nicht auf dem Schirm hatte ist die Sache das die Parabell
ja auch nach unten offen sein kann. ...

Bei all dem solltest du auch daran denken, langsam, aber sicher auch sprachlich korrekt zu schreiben.
Es gibt auch ein "dass" im Unterschied zu "das", "Parabel" anstatt "Parabell" und Beistriche, an die richtige Stelle gesetzt, erhöhen die Lesbarkeit.

mY+

15.03.2022, 13:12

Xanthin78

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Hallo Helferlein,

dann war es ein großes Brett, danke das Du mir das abgenommen hast.

Jetzt wo ich das mit der 1 und a b und c sehe, klar mit 1 mal genommen, kann ja nur abc rauskommen.
Ich danke Dir.

Den Gauß-Algorithmus hatte ich im Buch " Brückenkurs Mathematik" gehabt.
Dort jedoch mit der Thematik Matrizen, den Transfer hierher habe ich nicht geschafft.

Interessant ist auch, dieses Wort Funktionsschar, das kannte ich bis dato auch noch nicht.

Ich denke das ich auf jeden Fall wieder was gelernt habe.

Ich werde dann einen Mod bitten deine Lösung in meinen Thread zu ergänzen.

Viele Grüße
Xanthin

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