Lokales Newton Verfahren

Die "Suchrichtung" ist vermutlich ein Name aus dem höher-dimensionalen Newton-Verfahren. Im Eindimensionalen gibt es nur "links" und "rechts" als Richtungen. Den Links von mythos entnehme ich, dass die auch eine "Länge" haben. D.h. die Suchrichtung im eindimensionalen ist einfach $\begin{eqnarray*} s_k = -\frac { F(x_k)}{F'(x_k)} \end{eqnarray*}$ .

12.03.2022, 13:30

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Das sehe ich ebenso:

[attach]54694[/attach]

Beispiel:
In der 5. Spalte (in der der Quotient steht) ist sowohl das Vorzeichen (Suchrichtung) als auch der Betrag zu sehen.

mY+

12.03.2022, 13:51

ThatsDeAngeloBaby

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie würde ich denn genau dann das s^0 berechnen?

12.03.2022, 15:00

ThatsDeAngeloBaby

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von IfindU
Die "Suchrichtung" ist vermutlich ein Name aus dem höher-dimensionalen Newton-Verfahren. Im Eindimensionalen gibt es nur "links" und "rechts" als Richtungen. Den Links von mythos entnehme ich, dass die auch eine "Länge" haben. D.h. die Suchrichtung im eindimensionalen ist einfach $\begin{eqnarray*} s_k = -\frac { F(x_k)}{F'(x_k)} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} s_0 = - \frac{F(0)}{F`(0)} = - \frac{30}{19} \end{eqnarray*}$

Das ist s^0?

Wie berechne ich s^1 ,x^1 ,x^2 ?

12.03.2022, 18:12

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Berechne die 2. Iteration, wie es schon bei der ersten geschehen ist.
Wie man es auch in der Tabelle ersieht, ist es

$\begin{eqnarray*} s_1 = \frac{-19,37}{28,18} = -0,6875 \end{eqnarray*}$

[attach]54704[/attach]

Die Vorzeichen wechseln, also nähert man sich einmal von rechts und einmal von links der Nullstelle (-1).
x1 und x2 sind ebenfalls Bestandteil der Iteration (Spalte x_n)

mY+

12.03.2022, 18:27

ThatsDeAngeloBaby

Auf diesen Beitrag antworten »

Mythos meinst du damit das so ?

$\begin{eqnarray*} s^1 = - \frac{F`(0)}{F``(0)} \end{eqnarray*}$

ich verstehe es mit Formeln so besser Big Laugh

DeAngelo ist leider nicht so begabt Big Laugh

12.03.2022, 19:50

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das stimmt so nicht, denn es kommt immer wieder dasselbe Verfahren - mittels desseben Quotienten f(x_n)/f'(x_n) zur Anwendung; eine 2. Ableitung ist da nicht dabei.

Nun, eher nicht nur die Begabung spielt da mit, denn du solltest eigentlich das Newton-Verfahren in den Grundzügen kennen und das Prinzip der Iteration verstehen.
Die gesuchten Werte stehen alle in der Tabelle.

Pro Iterationsschritt wird das Ergebnis der Berechnung der ersten angenäherten Nullstelle als Eingangswert für die Berechnung der nächsten angenäherten Nullstelle) verwendet und so fort.
Der Rechenvorgang ist dabei immer der gleiche.
Damit werden die Unterschiede zwischen den einzelnen Näherungswerten immer geringer, bis sie so klein sind, dass der Unterschied (die Differenz) zwischen zwei aufeinanderfolgenden Werten praktisch so klein ist, dass er unter der (vorgegebenen) Toleranzgrenze (Fehlertoleranz) liegt und die Iteration abgebrochen werden kann.

Die Berechnungsgrundlage ist, dass in einem Punkt nahe der Nullstelle die Tangente an die Kurve gelegt und diese mit der x-Achse geschnitten wird.
Mit dessen x-Wert wird ein neuer Kurvenpunkt erzeugt und dort wieder die Tangente gelegt und diese wieder mit der x-Achse geschnitten und so fort.
Alle diese Schnittpunkte kommen, wenn das Verfahren geeignet angelegt ist und es konvergiert, der gesuchten Nullstelle beliebig nahe.

Also lauten die Ergebnisse der Reihe nach: x0 =0; s0 = 1,58; x1 = -1,58; s1 = -0,687; x2 = -0,89; s2 = 0,109; x3 = -1,005 ....
Anmerkung: Die s-Werte werden gemäß der Regel des Verfahrens von den jeweiligen x-Werten subtrahiert.

mY+

12.03.2022, 20:18

ThatsDeAngeloBaby

Auf diesen Beitrag antworten »

Könntest du zeigen wie du das rechnerisch meinst ?
Bei der Tabelle blicke ich schwer durch woher alle Werte her kommen ? Big Laugh

13.03.2022, 02:32

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Tabelle ist eigentlich selbsterklärend.
Die Rechenschritte stehen nämlich in der Tabellenkopfzeile:

[attach]54705[/attach]

Bei n = 0 wird für x0 = 0 in die Funktionsgleichung und dann in die Ableitungsfunktion eingesetzt, unter f(x_n) kommt 30 und unter f '(x_n) dann 19.
Nun ist der Quotient f(x0) / f '(x0) = 1,579, dieser wird von x0 subtrahiert, dies ergibt -1,579
Das ist jetzt der neue Startwert x1 (bei n = 1) und es beginnt das gleiche Spiel:
f(x1) und f '(x1) und den Quotienten berechnen, diesen von x1 subtrahieren, das ergibt x2 = -0,892.

Dies macht man so lange, bis sich bei x_n nicht(s) mehr (viel) ändert.
Die Formeln für f(x) und f '(x) müssen in Excel nur in der 1. Zeile eingegeben werden, danach werden die Formeln heruntergezogen, dabei passen sie sich an.

In dem im vorigen Beitrag gezeigten Excel-Tabellenblatt stehen diese in der Zeile 16
f(x): =C16^4-3*C16^3-15*C16^2+19*C16+30
f '(x): =4*C16^3-9*C16^2-30*C16+19

mY+

Neue Frage »

Antworten »

Lokales Newton Verfahren

Verwandte Themen