Obere/untere Grenze

12.03.2022, 16:09

Benutzer121

Obere/untere Grenze

Meine Frage:
Warum subtrahiert man bei der Integration die obere - die untere Grenze? Macht man das nur bei bestimmten Integralen, oder auch bei unbestimmten?

Meine Ideen:
Hab mit dem Thema erst angefangen. Dementsprechend kann ich die Frage nicht beantworten.

12.03.2022, 16:40

HAL 9000

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Eine Frage zu der Kaskade von Integral-Frage-Threads deinerseits:

Hast du vor, dir das Thema Integralrechnung gänzlich ohne Besuch einer entsprechenden Lehrveranstaltung anzueignen? So klingt das nämlich irgendwie. geschockt

12.03.2022, 16:46

Benutzer121

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Nein, mein Lehrer hat das erklärt, aber ich hab es noch nicht ganz verstanden.

12.03.2022, 17:05

Benutzer121

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Kann mir denn niemand helfen? Sind einfache Zusammenhänge nicht zu erklären? traurig

12.03.2022, 17:36

Huggy

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Zitat:

Original von Benutzer121
Nein, mein Lehrer hat das erklärt, aber ich hab es noch nicht ganz verstanden.

Damit macht du es dir recht einfach. Man muss sich auch mit den Erklärungen beschäftigen. Auch Lehrer haben keinen Nürnberger Trichter:

https://de.wikipedia.org/wiki/N%C3%BCrnberger_Trichter

Das unbestimmte Integral ist eigentlich gar kein Integral. Es ist ein anderer Name für eine Stammfunktion. Eine Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ zu einer Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist definiert als eine Funktion, deren Ableitung gerade die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} F'(x)=f(x) \end{eqnarray*}$

Da beim Ableiten eine additive Konstante wegfällt, sind Stammfunktionen nur bis auf eine additive Konstante bestimmt. Mit anderen Worten: Wenn $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist, dann ist auch $\begin{eqnarray*} G(x)=F(x)+c \end{eqnarray*}$ mit einer Konstanten $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ .

Der Zusammenhang von Stammfunktionen und bestimmten Integralen ergibt sich aus dem Hauptsatz der Diff-Int-Rechnung:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b f(x) dx=F(b)-F(a) \end{eqnarray*}$

Dieser Satz ist nicht trivial. Er muss bewiesen werden. Das hat der Lehrer vielleicht auch gemacht. Vielleicht hat er ihn auch nur plausibel gemacht. Wie auch immer, wegen dieses Satzes kann man ein bestimmtes Integral berechnen, indem man von der Stammfunktion des Integranden an der oberen Grenze die Stammfunktion an der unteren Grenze subtrahiert. Und deswegen schreibt man eine Stammfunktion auch als unbestimmtes Integral, d. h. als ein Integral ohne Grenzen:

$\begin{eqnarray*} F(x)=\int f(x) dx \end{eqnarray*}$

Man kann weiter zeigen, wenn man das bestimmte Integral als Funktion einer variablen oberen Grenze und einer festen unteren Grenze betrachte, dann erhält man gerade eine Stammfunktion:

$\begin{eqnarray*} F(x)=\int_a^x f(t) dt \end{eqnarray*}$

13.03.2022, 11:58

Benutzer121

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Danke, hab ich aber noch nicht verstanden.

13.03.2022, 12:44

Huggy

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Was soll ich dazu sagen? Ich könnte mich jetzt selbst zitieren:

Zitat:

Man muss sich auch mit den Erklärungen beschäftigen.

Das scheint aber nicht dein Ding zu sein! Also sage ich mal: Das tut mir Leid für dich. Da kann man halt nichts machen.

13.03.2022, 13:20

mYthos

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Vielleicht noch dies überlegen, weshalb das bestimmt Integral eine Differenz ist:

Die Fläche der Kurve mit der x-Achse im Intervall zwischen den beiden Grenzen a, b ist die Differenz zweier Flächen: Jener zwischen der oberen Grenze b und beispielsweise minus unendlich und jener zwischen der unteren Grenze a und minus unendlich. Anstatt minus unendlich kann man sich auch eine beliebige andere Grenze x0 denken, welche kleiner ist als die untere Grenze (weiter links liegt).
Jedenfalls ist die Differenz dieser beiden Flächen gerade die Fläche im Intervall [a; b], denn die Fläche von der fiktiven Grenze x0 bis a fällt ja weg.

Ich weiß, das ist etwas salopp erklärt, hat aber bei den Schülern eher Chance für ein Verständnis.

mY+

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