Kardinalität einer Menge

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Monelisa Auf diesen Beitrag antworten »
Kardinalität einer Menge
Ich beschäftige mich gerade mit dem Buch wie man mathematisch denkt von K. Houston und habe zum ersten Kapitel zwei Fragen. Übrigens lese ich das Buch auf Englisch, es kann also sein, dass meine Übersetzung nicht ganz richtig ist.

Er gibt während der Einführung in Funktionen folgendes Beispiel:


"Die Kardinalität einer Menge ist eine Funktion für die Menge der endlichen Mengen. Das heißt | | : Endliche Mengen -> {0} U N. Beachte das wir 0 in der Zielmenge brauchen, da die Menge die leere Menge sein könnte."

Wenn die Kardinalität die Anzahl der Elemente einer Menge ist, geht es ja um die Anzahl der endlichen Mengen, oder? Geht es darum, dass jeder endlichen Menge eine Kardinalität aus diesem Bereich: {0} U N zugeordnet werden kann? Die Formulierung verwirrt mich leider total.

Meine zweite Frage ist zu einer Aufgabe aus dem ersten Kapitel (Aufgaben 1.33):
Finde die größte Definitionsmenge die f(x) = x/(x^2-5x+3) zu einer Funktion macht.
Online habe ich diese Lösung dazu gefunden:

siehe BILD

Diese Lösung hat mich nur noch mehr verwirrt. Ich weiß nicht wie ich an die Aufgabe heran gehen soll. Ich habe erstmal Zahlen eingesetzt und geschaut was passiert, aber wie die Lösung entstanden ist kann ich gar nicht nachvollziehen.

Ich hoffe ich stelle diese Frage im richtigen Forum? Vielen Dank für eure Hilfe!!

Edit: N und R stehen für natürliche und reelle Zahlen.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Zur ersten Frage: Jeder endlichen Menge wird die Anzahl Ihrer Elemente zugeordnet. Daher ist die Kardinalität eine Abbildung von einer Menge auf die natürlichen Zahlen inkl. 0.

Zur zweiten Frage: Nicht im maximalen Definitionsbereich liegen die x- Werte bei denen das Einsetzen zu keinem Ergebnis führt. Was könnte das bei einem Bruch sein?
Xanthin78 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Monelisa,

da ich auch gerade mit diesen Buch beschäftigt bin, würde ich mich hier mal
gerne einklinken, da ch auch eine Frage zum Beispiel 1.30 (iii) habe.

Hier der deutsche Text aus dem Buch:

Es seien eine beliebige Menge und die Menge aller endlichen Teilmengen von .
Dann läßt sich die Kardinalität als Funktion auf auffassen:
in Symbolen:

Beachten Sie, dass wir die 0 im Wertebereich benötigen, da auch die leere Menge ein Element von ist.

Also wo ich eine Blockade habe ist zum einen die Bedeutung des Symbols vor dem Doppelpunkt , E usw.

Die zweite Frage ist wird das E hier so genommen wie bei normalen Funktion das klein f .

Die dritte Frage ist, darf oder kann ich davon ausgehen das eine endliche Menge ist
weil im Buch vorher stand dass die Kardinalität für endliche Mengen gilt. Wenn ja dann
verwirrt mich das weil die natürlichen Zahlen unendlich sind.


Viele Grüße
Xanthin
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1: || ist die Bezeichnung der Funktion, also das was Du normalerweise mit f bezeichnen würdest.

Zu 2: E(M) ist hier die Bezeichnung für die Menge der endlichen Teilmengen von M. So gesehen ist E eine Funktion, die einer endlichen Menge die Menge aller ihrer Teilmengen zuordnet.

Zu 3: Unendlich ist keine natürliche Zahl. Die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge besitzt aber keine obere Achranke.
Xanthin78 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich dann


als ein mir bekanntes Beispiel nehme,

ist das das Pendant zu
Das hast du ja bei 1 geschrieben,
Ist das gängig so einen Doppelstrich dafür zu verwenden ?
Ich habe in verschiedenen LAtex Tabellen zumindest beim überfliegen
kein solches Zeichen für den Zweck gefunden. Nur als Symbol für Parallelität.

Das erste das Pendant zu
das ist doch die Definitionsmenge, weil das vor dem Pfeil ist.

Das zweite das Pendant zu
und müsste dann die Zielmenge/Bild- oder Wertebereich sein.

Habe ich das richtig wiedergegeben ?

Viele Grüße
Xanthin
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Alles richtig Freude
Bzgl. dem Latexsymbol für die Kardinalität steht z.B. bei Wikipedia etwas
 
 
Xanthin78 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke sehr für den Hinweis bezüglich der Kardinalität
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