Richtungsableitung

13.03.2022, 12:39

tom007

Richtungsableitung

Meine Frage:
Hallo!
Ich hätte bitte eine Frage. Und zwar wäre jetzt ja der lim t->0 (1/t) = infinity und der GW würde nicht existieren. Was mache ich falsch. smile

Lg Tom

Meine Ideen:
lim t->0 (1/t) = infinity

13.03.2022, 13:34

Huggy

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RE: Richtungsableitung

Zitat:

Original von tom007
Und zwar wäre jetzt ja der lim t->0 (1/t) = infinity und der GW würde nicht existieren.

Wie kommst du auf diesen Grenzwert? Es ist doch $\begin{eqnarray*} f(t \cdot v)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |t| \end{eqnarray*}$ hinreichend klein. Falls $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ nicht in das Innere des ersten oder dritten Quadranten zeigt, ist sogar $\begin{eqnarray*} f(t \cdot v)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ . Der zu betrachtende Grenzwert ist also

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to 0} \frac 0 t =0 \end{eqnarray*}$

13.03.2022, 14:18

bambadibu

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Hey!
Vielen Dank für die rasche Antwort. smile

Ich dachte so:

Wenn Re(t*v) = Im(t*v) ^2 , dann f(z) =1. (Laut Funktionsvorschrift)

Ist dies nun der Fall, so ist f(t * v) = 1.

So ergibt sich lim t-> 0 (1/t).

Lg tom

13.03.2022, 14:42

Huggy

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Zitat:

Original von bambadibu
Wenn Re(t*v) = Im(t*v) ^2 , dann f(z) =1. (Laut Funktionsvorschrift)

Ist dies nun der Fall, so ist f(t * v) = 1.

So weit richtig. Aber bei gegebenem $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ist das höchstens bei einem Wert von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ möglich. Bei allen anderen Werten von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(t \cdot v)=0 \end{eqnarray*}$ .

Beispiel: $\begin{eqnarray*} v=(2,1) \end{eqnarray*}$
Bei $\begin{eqnarray*} t=2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} t \cdot v=(4,2) \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} f(t \cdot v)=1 \end{eqnarray*}$ . Aber für alle anderen Werte von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(t \cdot v)=0 \end{eqnarray*}$ , insbesondere also bei der Grenzwertbetrachtung $\begin{eqnarray*} t\to 0 \end{eqnarray*}$ .

13.03.2022, 14:57

bambadibu

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Du bist der beste!!

Danke!!!!!!!
Lg

13.03.2022, 15:19

bambadibu

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Und sie kann im Punkt a nicht stetig sein oder?

Weil im Punkt 0 is sie ja 1 und da ergibt sich kein Grenzwert. Lieg ich jetzt richtig??

LG

13.03.2022, 15:29

Huggy

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Ja, die Funktion ist im Punkt $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ nicht stetig, obwohl dort alle Richtungsableitungen existieren. Allerdings ist $\begin{eqnarray*} f(a)=0 \end{eqnarray*}$ , weil ja $\begin{eqnarray*} Im(a)=0 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} Im(a)>0 \end{eqnarray*}$ . Aber in jeder beliebigen Umgebung von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ gibt es auch Punkte $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(z)=1 \end{eqnarray*}$ und deshalb ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ dort nicht stetig.

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