Induktionsaxiom = Logische Wahrheit?

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Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
Induktionsaxiom = Logische Wahrheit?
Das Induktionsaxiom (ob nun in den Peano-Axiomen oder "nur" in PL1 formalisiert) ist keine logische Wahrheit, d.h. wir nehmen zwar seine Wahrheit an und zwar ohne Beweis (= Axiom), aber es kann genauso falsch sein, wie jede andere kontigente Annahme. Das gilt i.Ü. für alle mathematischen Axiome, wie zB auch ZFC. Nur die logischen Axiome (in einem Kalkül wie zB KNS oder Hilbert) wären logisch wahr und damit "unfalschbar" (und selbst das basiert "nur" auf der Tatsache, dass wir uns die Falschheit nicht vorstellen können, was nichts heißen muss) .

Kann man das so schreiben?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ein logischer Kalkül ist doch letztlich ebenfalls nur ein formales System, von dem sich Axiome entfernen ließen. Insofern stellt sich zunächst die Frage, was du unter dem Begriff logische Wahrheit verstehst. Die profane Erklärung wäre ja, eine Formel ist logisch wahr, wenn sie beweisbar ist, das heißt, wenn sie sich aus den Axiomen unter Nutzung der Schlussregeln ableiten lässt. Dir mag aber ein höhergestellter Wahrheitsbegriff vorschweben.

Übrigens wurden bereits formale Systeme geschaffen, in denen die Mittel zur Beschreibung logischer Formeln und mathematischer Objekte miteinander verwoben sind. In der Typentheorie, speziell im Kalkül induktiver Konstruktionen, gibt es sowohl Typen zur Beschreibung logischer Formeln zuzüglich Termen zur Erstellung von Beweisen als auch induktive Typen zuzüglich ihrer Terme zur Umsetzung von struktureller Induktion. Eigentlich ist das kein Hexenwerk; mit den Termen machst du schlicht natürliches Schließen, wahlweise intuitionistisch oder klassisch. Der Witz besteht darin, dass die Mengenlehre dabei entbehrlich ist.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktionsaxiom = Logische Wahrheit?
Zitat:
Original von Pippen
Das Induktionsaxiom (ob nun in den Peano-Axiomen oder "nur" in PL1 formalisiert) ist keine logische Wahrheit

Induktion heißt, dass es genügt, die Konstruktoren zu betrachten (vgl. strukturelle Induktion). Das ist was sehr natürliches und notwendig, wenn wann man vernünftig Logik machen will.

Zitat:
Original von Pippen
wir nehmen zwar seine Wahrheit an und zwar ohne Beweis (= Axiom), aber es kann genauso falsch sein, wie jede andere kontigente Annahme. Das gilt i.Ü. für alle mathematischen Axiome, wie zB auch ZFC.

Wenn dir Peano-Arithmetik zu unheimlich ist, wie wäre es mit Willards self-verifying theories? Dann ist die Arithmetik halt nicht mehr total.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktionsaxiom = Logische Wahrheit?
Zitat:
Original von zweiundvierzig
Induktion heißt, dass es genügt, die Konstruktoren zu betrachten (vgl. strukturelle Induktion). Das ist was sehr natürliches und notwendig, wenn wann man vernünftig Logik machen will.


Das mag sein, aber ich will wissen, ob diese Induktion (und damit das Induktionsaxiom) logisch wahr bzw. unfalschbar ist, d.h. sowas wie p v ~p. Und mE ist das nicht der Fall. Selbst wenn man die Standard-Interpretation auf das Induktionsaxiom fixed bleibt das Induktionsaxiom eine kontigente Aussage, die aber eben als wahr postuliert wird (aber nicht wahr sein muss).

Ich dachte, das wäre klar, aber einige verdächtige Aussagen in Foren bzw. Büchern haben mich wieder verunsichert. Versteht ihr was ich meine o. ist meine Frage bereits in sich unstimmig (und wo wäre das)?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktionsaxiom = Logische Wahrheit?
Zitat:
Original von Pippen
p v ~p

Zu LEM gibt es Gegenmodelle z.B. die Menge der offenen Teilmengen eines offenen Intervalls mit der Disjunktion interpretiert als Vereinigung und Negation das Innere des Komplements. Betrachte z.B. und .
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktionsaxiom = Logische Wahrheit?
Nein, LEM hat keine Gegenmodelle (in der klass. Logik). Schauen wir uns alle möglichen Modelle an:

p ~p
0 1
1 0

In allen Modellen ist LEM wahr. Und beim Induktionsaxiom ist das anders, denn das hat einfach die Form a -> b und die ist nur kontigent, selbst wenn wir nur die Standardinterpretation hernehmen. Das Induktionsaxiom ist daher mE nur ein kontigentes Postulat, was als wahr angenommen wird, aber theoretisch falsch sein kann, während LEM selbst theoretisch nie falsch sein kann.
 
 
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

In booleschen Algebren ist das LEM wahr, in Heyting-Algebren nicht notwendigerweise.

In klassischer Logik ist Implikation als Disjunktion definierbar.

Es gibt auch Modelle für Mengenlehre, die das Unendlichkeitsaxiom refutieren. Dann macht man halt finitistische Mathematik.
Pippen Auf diesen Beitrag antworten »

Was wäre denn nun deine Antwort, wenn dich jmd. fragt:

1. Ist das Induktionsaxiom (logisch) wahr?
2. Ist das Induktionsaxiom in der Standardinterpretation mit IN wahr?

Das IA ist auf keinen Fall logisch wahr, weil es leicht irgendeine Interpretation gibt, die den Antecedens wahr, aber den Konsequens falsch macht. Aber bei 2. nein, deshalb hat man es ja als Axiom formuliert, denke ich mir so.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

ist per Definition eine induktiv Menge (die Kleinste).

Es fällt mir schwer zu verstehen, was überhaupt das Problem ist.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Pippen
Das IA ist auf keinen Fall logisch wahr, weil es leicht irgendeine Interpretation gibt, die den Antecedens wahr, aber den Konsequens falsch macht.


Verstehe ich nicht. Worum geht's denn grundsätzlich? Darum, auf möglicherweise unnötig starke Annahmen zu verzichten? Das guckt man sich im Programm der Reverse Mathematics an. Da gilt dann auch Induktion möglicherweise nur in eingeschränkter Form.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Das Unendlichkeitsaxiom (was die Validität der vollständigen Induktion impliziert) ist unabhängig von den restlichen Axiomen für ZFC. Ein Gegenmodell ist die Klasse der hereditär endlichen Mengen.
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