Zustand eines Pendels in einem bestimmten Zeitpunkt

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14.03.2022, 14:24	Knightfire66	Auf diesen Beitrag antworten »
Zustand eines Pendels in einem bestimmten Zeitpunkt Meine Frage: Die Fundamentalmatrix ist gegeben. $\begin{eqnarray} \boldsymbol{\Phi}(\mathrm{t})=\left[\begin{array}{cc}\cos (2 \pi \mathrm{t}) & \frac{1}{2 \pi} \sin (2 \pi \mathrm{t}) \\ -2 \pi \sin (2 \pi \mathrm{t}) & \cos (2 \pi \mathrm{t})\end{array}\right] \end{eqnarray}$ Zum Zeitpunkt t_1 = 1.25 ist x_1(t_1) = 1 und x_2(t_1) = -pi. In welchem Zustand befindet sich das Pendel zum Zeitpunkt t_2 = 2.5? In der Musterlösung steht x_1= -1/2 und x_2 = -2pi. Wie kommt man drauf? Meine Ideen: keine
14.03.2022, 15:31	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösung deines AWP ergibt sich als Linarkombination der Fundamentallösungen, deren Koeffizienten man durch Lösung des GLS $\begin{eqnarray} \boldsymbol{\Phi}(1.25)\cdot \begin{pmatrix}C_1\\ C_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ -\pi\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bekommt. Hat man auf diese Weise $\begin{eqnarray} C_1,C_2 \end{eqnarray}$ ermittelt, ergeben sich die gesuchten Werte anschließend durch $\begin{eqnarray} \boldsymbol{\Phi}(2.5)\cdot \begin{pmatrix}C_1\\ C_2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ .
14.03.2022, 17:58	Knightfire66	Auf diesen Beitrag antworten »
hey, das klappt nicht ganz. ich lande bei -1 +pi EDIT das sollte -1 und +pi sein. also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}-1\\ \pi\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . mfg
14.03.2022, 18:24	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist schon mal deswegen Unsinn, weil nicht ein reeller Wert, sondern ein zweidimensionaler Vektor rauskommt. Bitte nochmal bzw. zeige Details deiner seltsamen Rechnung.
15.03.2022, 12:33	Knightfire66	Auf diesen Beitrag antworten »
Annahme: $\begin{eqnarray} \boldsymbol{\Phi}(1.25)\cdot \begin{pmatrix}C_1\\ C_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ -\pi\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \Phi(1.25) = \begin{pmatrix}0 & 1/2\pi\\ -2 \pi & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist das richtig? Aber nun ergibt $\begin{eqnarray} \Phi(1.25)\cdot \begin{pmatrix}C_1\\ C_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1/2 \pi\\ -2\pi\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ich komme nicht auf $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1\\ -\pi\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und muss ich dann nachdem ich $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1\\ -\pi\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ habe das nun für $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}C_1\\ C_2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \boldsymbol{\Phi}(2.5)\cdot \begin{pmatrix}C_1\\ C_2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ einsetzen? Und das Ergebnis ist dann die Lösung? mfg
15.03.2022, 12:47	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Oben ging es noch mit dem LaTeX, jetzt scheinst du es verlernt zu haben. Schauen wir uns mal die beiden beteiligten Matrizen an: $\begin{eqnarray} \boldsymbol{\Phi}(1.25) = \left[\begin{array}{cc}\cos(2.5\pi) & \frac{1}{2\pi} \sin(2.5\pi)\\ -2\pi\sin(2.5\pi) & \cos(2.5\pi)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 & \frac{1}{2\pi}\\ -2\pi & 0\end{array}\right] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \boldsymbol{\Phi}(2.5) = \left[\begin{array}{cc}\cos(5\pi) & \frac{1}{2\pi} \sin(5\pi)\\ -2\pi\sin(5\pi) & \cos(5\pi)\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 0\\ 0 & -1\end{array}\right] \end{eqnarray}$ Und nun?
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15.03.2022, 13:36	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach langer Wartezeit hat es mit den LaTeX-Ausdrücken dann doch noch geklappt... $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}0 & \frac{1}{2\pi}\\ -2\pi & 0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}C_1\\ C_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ -\pi\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ kann man doch im Kopf lösen: $\begin{eqnarray} C_1=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C_2=2\pi \end{eqnarray}$ . Bleibt nur noch die Schlussrechnung: $\begin{eqnarray} \boldsymbol{\Phi}(2.5)\cdot \begin{pmatrix}C_1\\ C_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\ 2\pi\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac{1}{2}\\ -2\pi\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ .
15.03.2022, 13:46	Knightfire66	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok vielen vielen Dank! es gilt also X (t) = $\begin{eqnarray} \phi (t) \end{eqnarray}$ C und in der Aufgabe ist nur $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ gegeben, was mich irritiert hat. Und ich habe auch bei der Lösung der LGS viele Fehler gemacht, da ich dachte es gilt: LSG(welche lsg!?!? ) = $\begin{eqnarray} \phi(t) \end{eqnarray}$ * X(t) dann bekam ich falsche Ergebnisse die ganze zeit, die kein Sinn ergaben
15.03.2022, 23:03	lh2	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte sich noch überlegen wie das zur Aufgabe gehörende Differentialgleichungssystem aussieht

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