Stabilitätsfunktion Runge-Kutta

14.03.2022, 18:38

Exit007

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Stabilitätsfunktion Runge-Kutta

Leute ich habe gerade Probleme mit der b) hier

Wisst ihr wie ich weiter vorgehen soll?

a)

$\begin{eqnarray*} u_{j+1}= u_j +h*(\beta_1 *k_1 + \beta_2*k_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_{1}= f( t_j + \frac{1}{2}h; u_j + h*( \frac{3}{8}k_1 + \frac{1}{8}k_2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k_{2}= f( t_j + \frac{1}{3}h; u_j + h*( \frac{1}{3}k_2) \end{eqnarray*}$

Wie berechnet man diese Stabilitätsfunktion bei b)
Kennt sich da jemand aus?

15.03.2022, 10:20

Huggy

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RE: Stabilitätsfunktion Runge-Kutta

Zitat:

Original von Exit007
Wie berechnet man diese Stabilitätsfunktion bei b)

Wende die gegebene Verfahrensvorschrift auf die DGL $\begin{eqnarray*} y'=\lambda y \end{eqnarray*}$ an, d. h. setze

$\begin{eqnarray*} f(t,y)=\lambda y \end{eqnarray*}$

Bringe dann $\begin{eqnarray*} u_{j+1} \end{eqnarray*}$ auf die Form

$\begin{eqnarray*} u_{j+1}=R(q)u_j \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} q= \lambda h \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} R(q) \end{eqnarray*}$ ist die Stabilitätsfunktion.

15.03.2022, 13:19

Exit007

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Wo soll ich das denn genau einsetzen?

k1 = f(t_j , u_j )

k1 = lambda*y

Meinst du es so?

15.03.2022, 13:51

Huggy

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Nicht ganz so, aber ähnlich. Wenn $\begin{eqnarray*} f(t,y)=\lambda y \end{eqnarray*}$ , dann ist doch

$\begin{eqnarray*} f(t_j,u_j)=\lambda u_j \end{eqnarray*}$

15.03.2022, 14:27

Exit007

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$\begin{eqnarray*} f(t_j,u_j)=\lambda u_j \end{eqnarray*}$

Ah stimmt Big Laugh

Big Laugh

Was mache ich jetzt genau mit der gegebenen Formel für :

$\begin{eqnarray*} u_{j+1} \end{eqnarray*}$
?

15.03.2022, 15:08

Huggy

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Jetzt hast $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ . Auf dieselbe Weise bestimmst du $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ . Dann setzt du $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ in die Formel für $\begin{eqnarray*} u_{j+1} \end{eqnarray*}$ ein. Es bleibt dann nur noch die rechte Seite etwas zu sortieren.

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15.03.2022, 15:46

Exit007

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$\begin{eqnarray*} k_2 = f( t_j + \frac{h}{3}; u_j +\frac{h}{3}\lambda u_j) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_{j+1} = u_j + \frac{h}{3} *(\lambda u_j + 2*f( t_j + \frac{h}{3}; u_j +\frac{h}{3}\lambda u_j) ) \end{eqnarray*}$

Man was für ne schreib Arbeit Big Laugh

Big Laugh

Was würdest du weiter vorschlagen ?
Habe gerade keine Idee weiter ? Big Laugh

Big Laugh

15.03.2022, 16:45

Huggy

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Zitat:

Original von Exit007
$\begin{eqnarray*} k_2 = f( t_j + \frac{h}{3}; u_j +\frac{h}{3}\lambda u_j) \end{eqnarray*}$

Hier musst du die rechte Seite mit der zu betrachtenden Funktion $\begin{eqnarray*} f(t,y)=\lambda y \end{eqnarray*}$ ausdrücken, wie du es mit $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ gemacht hast.

15.03.2022, 17:05

Exit007

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$\begin{eqnarray*} k_2 =\lambda*(u_j +\frac{h}{3}\lambda u_j) \end{eqnarray*}$

So?

15.03.2022, 17:12

Huggy

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Richtig.
Und jetzt $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} u_{j+1} \end{eqnarray*}$ einsetzen, dann dort auf der rechten Seite $\begin{eqnarray*} u_j \end{eqnarray*}$ ausklammern und den Vorfaktor verschönern.

15.03.2022, 17:30

Exit007

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$\begin{eqnarray*} u_{j+1}= u_j + \frac{h}{3}*(\lambda u_j+2\lambda *(u_j+\frac{h}{3}\lambda u_j)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_{j+1}= u_j + \frac{h}{3}*(\lambda u_j+2 *\lambda u_j+2\frac{h}{3}\lambda^2 u_j)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_{j+1}= u_j + \frac{h}{3}*u_j*(\lambda +2 *\lambda +2\frac{h}{3}\lambda^2 )) \end{eqnarray*}$

Was kann ich jetzt machen ?

15.03.2022, 17:41

Huggy

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Zitat:

Original von Exit007
$\begin{eqnarray*} u_{j+1}= u_j + \frac{h}{3}*u_j*(\lambda +2 *\lambda +2\frac{h}{3}\lambda^2 )) \end{eqnarray*}$

Was kann ich jetzt machen ?

Wie schon gesagt verschönern.
In der Klammer können $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2 \lambda \end{eqnarray*}$ zusammengefasst werden. Dann $\begin{eqnarray*} h/3 \end{eqnarray*}$ in die Klammer hinein multiplizieren. Entstehende Produkte $\begin{eqnarray*} \lambda h \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ nennen. Jetzt noch mal $\begin{eqnarray*} u_j \end{eqnarray*}$ ausklammern. In obigem Ausdruck steht ja noch rechts vorne ein einsames $\begin{eqnarray*} u_j \end{eqnarray*}$ . Dann bist du fertig und kannst

$\begin{eqnarray*} R(q)= \cdots \end{eqnarray*}$

hinschreiben.

15.03.2022, 18:03

Exit007

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Ich poste mal nur was ich nach der Vereinfachung raus habe :

$\begin{eqnarray*} u_{j+1} = u_j + u_j*( q + \frac{2q^2}{9} ) \end{eqnarray*}$

Kann das stimmen ?

Leider wieder nicht klar wie es weiter geht Big Laugh

Big Laugh

15.03.2022, 18:11

Huggy

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Zitat:

Original von Exit007
$\begin{eqnarray*} u_{j+1} = u_j + u_j*( q + \frac{2q^2}{9} ) \end{eqnarray*}$

Kann das stimmen ?

Richtig. Also

$\begin{eqnarray*} u_{j+1}=(1+q +\frac 2 9 q^2)u_J \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} R(q)=1+q +\frac 2 9 q^2 \end{eqnarray*}$

15.03.2022, 18:35

Exit007

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Ah danke

Huggy passt die c ) auch?

Aber die b) war nicht ohne
Extrem schwer ohne Hilfe zu lösen Big Laugh

Big Laugh

15.03.2022, 19:25

Huggy

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Bis $\begin{eqnarray*} R(q)=\frac 7 {11} \end{eqnarray*}$ i. O. Danach schrecklicher Bruchrechnungsfehler!

15.03.2022, 19:28

Exit007

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1/11 gekürzt ?

15.03.2022, 19:29

Huggy

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Richtig.
Dadurch ändert sich dann auch $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ .

15.03.2022, 19:32

Exit007

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Wäre es dann :

7/11 * 1/11 = 7/121 ?

15.03.2022, 19:32

Huggy

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Richtig!

15.03.2022, 19:33

Exit007

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Danke Huggy für deine Hilfe

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