Schätzer Likelihood

15.03.2022, 14:50

morgexy

Schätzer Likelihood

Hallo alle zusammen habt ihr Tipps wie ich hier vorgehen muss ?
Komme mit solchen Aufgaben nicht so richtig klar Big Laugh

15.03.2022, 15:10

HAL 9000

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"Nicht so richtig" klingt nach mehr als "gar nicht". Daher hast du doch wohl zumindest eine vage Idee, wie bzw. womit man hier startet um diesen Maximum-Likelihood-Schätzer für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, oder?

15.03.2022, 15:37

morgexy

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Hast du einen kleinen Ansatz für mich an dem ich mich dran hängen kann ?

15.03.2022, 22:34

morgexy

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Soll ich die Funktion nach z ableiten ?

16.03.2022, 08:41

HAL 9000

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Also "gar nicht".

Nach $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ wird hier nicht abgeleitet, denn $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ wird bei den Betrachtungen hier als fester Parameter angesehen. Die Likelihoodfunktion wird bei festem $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ hinsichtlich des anderen Parameters $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ maximiert. Um sie maximieren zu können, muss man sie aber erstmal aufstellen - das ist der logisch erste Schritt. Und die Likelihoodfunktion ist das Produkt der Dichtewerte an allen Stellen der Stichprobe $\begin{eqnarray*} \left(x_1,\ldots,x_n\right) \end{eqnarray*}$ ,

Im Aufgabentext ist diese Dichtefunktion angegeben (obwohl dort falscherweise als "Verteilungsfunktion" deklariert), somit ist die Likelihoodfunktion

$\begin{eqnarray*} L(\lambda) = \prod_{k=1}^n f_{\lambda,z}\left(x_k\right) = \prod_{k=1}^n \lambda z\cdot \left(\lambda x_k\right)^{z-1} e^{-(\lambda x_k)^z} \end{eqnarray*}$ .

Für die Maximumsuche ist es oft (und so auch hier) zweckmäßig, statt $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ die Loglikelihoodfunktion $\begin{eqnarray*} LL(\lambda) = \ln\left(L(\lambda)\right) \end{eqnarray*}$ zu maximieren, die lautet hier (mit einigen Vereinfachungen gemäß Logarithmenregeln

$\begin{eqnarray*} LL(\lambda) = \sum_{k=1}^n \left( z\ln(\lambda) + \ln(z) + (z-1)\ln\left(x_k\right) - \lambda^z x_k^z \right) = n\left( z\ln(\lambda) + \ln(z)\right) + \sum_{k=1}^n \left((z-1)\ln\left(x_k\right) - \lambda^z x_k^z \right) \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Die tatsächliche Verteilungsfunktion dieser Weibull-Verteilung lautet

$\begin{eqnarray*} F_{\lambda,z}\left(x\right) = \begin{cases} 0&\mbox{ für }x<0\\ 1-e^{-(\lambda x)^z}&\mbox{ für }x\geq 0\end{cases} \end{eqnarray*}$ ,

gültig für positiv reelle Parameter $\begin{eqnarray*} z,\lambda \end{eqnarray*}$ .

16.03.2022, 14:43

morgexy

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Ich hätte es so gerechnet ?

Kannst du mir erklären wie das z davor kommt ?

siehe Bild

16.03.2022, 15:24

HAL 9000

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Kannst du es mal so schreiben, dass man es auch vernünftig lesen kann? Es fehlen zudem mehrere Klammern (um das z-1 herum, sowie um den ganzen Summanden).

In meiner Umformung oben habe ich alle Summanden, die nicht vom Summationsindex $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ abhängen, aus der Summe rausgezogen, gemäß der simplen "Regel" $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n c = n\cdot c \end{eqnarray*}$ .

16.03.2022, 15:29

morgexy

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Nehme den Weg einfach ma so hin

Soll ich jetzt nach lambda ableiten ?

-z*lambda zusammen mit dem Summenzeichen würde dann übrig bleiben?

16.03.2022, 15:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von morgexy
-z*lambda zusammen mit dem Summenzeichen würde dann übrig bleiben?

Nein. Arbeite bitte gründlich.

16.03.2022, 15:58

morgexy

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\lambda } +\sum\limits_{k=1}^{n} -z\lambda^{z-1} \end{eqnarray*}$

Sieht es jetzt besser aus?

16.03.2022, 16:31

HAL 9000

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Jetzt hast du wieder wichtige Terme unterschlagen. Diese schlampige Trial-and-Error-Masche statt EINMAL gründlich zu arbeiten kann einem schon gewaltig auf den Senkel gehen. unglücklich

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} LL(\lambda) = \sum_{k=1}^n \left( z\ln(\lambda) + \ln(z) + (z-1)\ln\left(x_k\right) - \lambda^z x_k^z \right) = n\left( z\ln(\lambda) + \ln(z)\right) + \sum_{k=1}^n \left((z-1)\ln\left(x_k\right) - \lambda^z x_k^z \right) \end{eqnarray*}$ .

Die Ableitung ergibt $\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd\lambda} LL(\lambda) = \frac{nz}{\lambda} - \sum_{k=1}^n z\lambda^{z-1} x_k^z= \frac{nz}{\lambda} - z\lambda^{z-1} \sum_{k=1}^n x_k^z \end{eqnarray*}$ .

Nullsetzen dieser Ableitung und Umstellen nach $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ergibt dann die Berechnungsformel für den ML-Schätzer $\begin{eqnarray*} \hat\lambda \end{eqnarray*}$ .

16.03.2022, 19:17

morgexy

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Habe es probiert ,aber habe bestimmt einen Fehler drin

Aber ich habe es probiert traurig

Sieht es gut aus?

16.03.2022, 19:27

HAL 9000

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Die Idee, die Gleichung mit $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ zu multiplizieren, ist richtig. Aber was du damit dann rausbekommst, ist unverständlich. unglücklich

$\begin{eqnarray*} \frac{nz}{\lambda} - z\lambda^{z-1} \sum_{k=1}^n x_k^z = 0 \qquad \Bigm|\; \cdot \frac{\lambda}{z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n - \lambda^z \sum_{k=1}^n x_k^z = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda^z \sum_{k=1}^n x_k^z = n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda^{-z} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k^z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda = \left( \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k^z\right)^{-\frac{1}{z}} \end{eqnarray*}$ .

16.03.2022, 20:01

morgexy

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Könte ich rechts nicht noch die zte Wurzel ziehen ?
Und dann fertig ?

16.03.2022, 20:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von morgexy
Könte ich rechts nicht noch die zte Wurzel ziehen ?

Details?

16.03.2022, 20:26

morgexy

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Da steht - 1/z daher ? Big Laugh

-1/3 ist 3 te wurzel daher Big Laugh

16.03.2022, 20:29

HAL 9000

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Wenn du nicht vernünftig artikulieren kannst, was du meinst, dann lassen wir es halt. unglücklich

16.03.2022, 20:43

morgexy

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Ne

Da steht doch -1/z als Hochzahl ,aber wenn es dann halt so bleibt dann ist es halt so .

Also keine weitere Vereinfachung mehr möglich?

17.03.2022, 10:26

HAL 9000

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Meiner Ansicht nach nicht. Allerdings kann es subjektiv sein, was man als einfachere Darstellung empfindet, d.h. ob das nun $\begin{eqnarray*} \hat\lambda = \left( \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k^z\right)^{-\frac{1}{z}} \end{eqnarray*}$ ist, oder ob einem $\begin{eqnarray*} \hat\lambda = \sqrt[z]{\frac{n}{\sum_{k=1}^n x_k^z}} \end{eqnarray*}$ besser gefällt...

17.03.2022, 12:27

morgexy

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danke

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