Dichtefunktion Quadratischer Tisch

15.03.2022, 22:11

bubu000

Dichtefunktion Quadratischer Tisch

Meine Frage:
Hallöchen zusammen,

die Aufgabe, um die es geht, findet ihr im Anhang.
Die Aufgaben sind soweit klar, zur Aufgabe b habe ich jedoch eine Frage. Nach langem Grübeln habe ich endlich herausgefunden, dass ich hier ja eigentlich nur zeigen, dass das Integral über der Dichtefunktion 1 ergibt.
Wie kommen die aber auf die Funktionen. Die check ich irgendwie nicht.

Meine Ideen:
Das einzige was mir aufgefallen ist, dass die 400 in der Dichtefunktion der Flächeninhalt von dem Quadrat ist, aber warum die Funktion jetzt eine Gerade mit Steigung 1/400 ist, keine Ahnung.

Danke schon mal für die Hilfe.
Liebe Grüße
bubu

15.03.2022, 22:24

HAL 9000

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Zitat:

Original von bubu000
zur Aufgabe b habe ich jedoch eine Frage. Nach langem Grübeln habe ich endlich herausgefunden, dass ich hier ja eigentlich nur zeigen, dass das Integral über der Dichtefunktion 1 ergibt.

Das sehe ich anders: Es ist nachzuweisen, dass aus der stetigen Gleichverteilung auf dem Quadrat (in der Schule heißt es möglicherweise auch "geometrische Wahrscheinlichkeit") folgt, dass die Dichte von $\begin{eqnarray*} S=X+Y \end{eqnarray*}$ eben so ist, wie sie im Scan angegeben ist. Dazu reicht es NICHT, einfach nur nachzuweisen, dass die dort angegebene Funktion auch tatsächlich eine Dichte darstellt. unglücklich

15.03.2022, 23:06

bubu000

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Na dann bin ich planlos.
Damit ich irgendwie weiter drüber nachdenken kann, hätte ich noch eine Frage.
Welche Bedeutung hat der y-Wert der Dichtefunktion?

16.03.2022, 09:52

HAL 9000

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Die Dichtefunktion $\begin{eqnarray*} f_S \end{eqnarray*}$ kann man als Ableitung der Verteilungsfunktion berechnen, also stellen wir zunächst mal letztere auf: Für $\begin{eqnarray*} 0\leq t\leq 20 \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} F_S(t) = P(S\leq t) = P(X+Y\leq t) = \frac{\frac{t^2}{2}}{20^2} = \frac{t^2}{800} \end{eqnarray*}$ ,

weil der "günstige Bereich" im Zähler dieser geometrischen Wahrscheinlichkeit dem Flächeninhalt eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks mit Kathetenlänge $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ entspricht (mit Spitze im Ursprung und Basis auf Gerade x+y=t). Geteilt wird durch die Gesamtfläche $\begin{eqnarray*} 20^2 \end{eqnarray*}$ des Quadrates $\begin{eqnarray*} [0,20]\times [0,20] \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} 20\leq t\leq 40 \end{eqnarray*}$ sieht es dann anders aus - dort ist der günstige Bereich das Gesamtquadrat abzüglich eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks mit Kathetenlänge $\begin{eqnarray*} 40-t \end{eqnarray*}$ (mit Spitze (20,20)), das ergibt hier

$\begin{eqnarray*} F_S(t) = \frac{20^2-\frac{(40-t)^2}{2}}{20^2} = 1-\frac{(40-t)^2}{800} \end{eqnarray*}$ .

Insgesamt ergibt das

$\begin{eqnarray*} F_S(t) = \begin{cases} 0 &\mbox{ für }t\leq 0\\ \frac{t^2}{800} &\mbox{ für }0<t\leq 20\\ 1-\frac{(40-t)^2}{800} &\mbox{ für }20<t\leq 40\\ 1 &\mbox{ für }t> 40\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Und wie gesagt, die Dichtefunktion $\begin{eqnarray*} f_S(t) \end{eqnarray*}$ ist dann die Ableitung von $\begin{eqnarray*} F_S(t) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ - zumindest fast überall (d.h. mit endlich vielen Ausnahmepunkten).

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