Limes, Umformung

17.03.2022, 10:49	Grenzwertig	Auf diesen Beitrag antworten »
Limes, Umformung Meine Frage: Hallo, bei meinem Problem geht es um die Herleitung der Ableitung für den Logarithmus und das meiste kann ich nachvollziehen. Es wird in Definition der Ableitung eingesetzt und Logarithmus-Regeln angewendet $\begin{eqnarray} \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\log_a(x - \Delta x) + \log_a(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\Delta x}\log_a(\frac{x + \Delta x}{x}) = \lim_{\Delta x \to 0}\log_a(1 + \frac{\Delta x}{x})^{\frac{1}{\Delta x}} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{x}\log_a(1 + \frac{\Delta x}{x})^{\frac{x}{\Delta x}} <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{x}\log_a(1 + \frac{\Delta x}{x})^{\frac{x}{\Delta x}} \end{eqnarray}$ Aber dann kommt eine Umformung, die ich mir mit den bisher bekannten Rechenregeln mit Grenzwerten nicht erklären kann: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{x}\log_a(1 + \frac{1}{n})^{n} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Man hat also $\begin{eqnarray} n = \frac {x}{\Delta x} \end{eqnarray}$ gesetzt und lässt nun n gegen unendlich gehen. Aber wieso darf man das ? Gibt's da allgemeingültige Rechenregeln / Theoreme / Sätze, auf die man sich beziehen kann ?
17.03.2022, 10:52	Grenzwertig	Auf diesen Beitrag antworten »
Edit: Ganz oben muss es natürlich $\begin{eqnarray} \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\log_a(x + \Delta x) - \log_a(x)}{\Delta x} \end{eqnarray}$ heißen.
17.03.2022, 10:57	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Limes, Umformung $\begin{eqnarray} \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{x}\log_a(1 + \frac{\Delta x}{x})^{\frac{x}{\Delta x}} \end{eqnarray}$ existiert nach Definition, wenn für jede $\begin{eqnarray} a_n \to 0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_n \neq 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ der Ausdruck $\begin{eqnarray} \lim_{n\to \infty} \frac{1}{x}\log_a(1 + \frac{a_n}{x})^{\frac{x}{a_n}} \end{eqnarray}$ existiert und für jede Folge den identischen Wert ergibt. Jetzt kannst du eine neue Folge $\begin{eqnarray} b_n = \frac x {a_n} \end{eqnarray}$ definieren und bekommst, dass es identisch ist zu $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{x}\log_a(1 + \frac{1}{b_n})^{b_n} \end{eqnarray}$ . An der Stelle ist man bei dir unsauber, weil man behauptet es reicht ausschließlich die Folgen $\begin{eqnarray} b_n = n \end{eqnarray}$ zu betrachten. Das ist zwar korrekt, aber muss bewiesen werden.
17.03.2022, 12:19	Grenzwertig	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo und danke für die schnelle Antwort, mir fällt noch ein, dass vor dem (mir) problematischen Term der Limes-Operator direkt vor die Klammer gezogen wurde, was wegen der Stetigkeit der Log-Funktion erlaubt ist, also : $\begin{eqnarray} \frac{1}{x}\log_a\lim_{\Delta x \to 0}(1 + \frac{\Delta x}{x})^{\frac{x}{\Delta x}} \end{eqnarray}$ Mir ist das entfallen als ich die Gleichungen aus dem Gedächtnis wieder aufrief. Das ändert aber nichts an deiner Argumentation oder ?
17.03.2022, 12:25	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Das ändert nichts an der Argumentation.
17.03.2022, 12:31	Grenzwertig	Auf diesen Beitrag antworten »
Wunderbar, vielen Dank !
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