Normalverteilte Zufallsvariable

17.03.2022, 16:47

JeffGordon

Normalverteilte Zufallsvariable

Hallo alle zusammen ,
habe einen kleinen Ansatz aber verstehe nicht wie ich das integrieren soll?

Hättet ihr ne Idee ?
Passt der Ansatz so?

17.03.2022, 16:55

Steffen Bühler

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RE: Normalverteilte Zufallsvariable
Sowas macht man mit dieser Tabelle.

Viele Grüße
Steffen

17.03.2022, 17:07

JeffGordon

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Was mache ich genau bei der Tabelle ?

Irgendwie den Wert bei 2 ablesen oder wie ?

17.03.2022, 17:11

Steffen Bühler

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Steht doch da: Du bestimmst $\begin{eqnarray*} z=\frac{x-\mu}{\sigma} \end{eqnarray*}$ und liest $\begin{eqnarray*} \Phi(z) \end{eqnarray*}$ ab.

17.03.2022, 17:39

JeffGordon

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$\begin{eqnarray*} z=\frac{x+1}{2} \end{eqnarray*}$

Ja aber was ist mein x in der Aufgabe ?

17.03.2022, 17:44

Steffen Bühler

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Steht doch auch da: die Obergrenze des Integrals $\begin{eqnarray*} \frac 1{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac 12 \left( \frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2}\mathrm dt \end{eqnarray*}$ .

Hier also x=2.

17.03.2022, 17:51

JeffGordon

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$\begin{eqnarray*} z=\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Aso gut Big Laugh

Das wären also 1.5 nach unten .
Und wieviel gehe ich da genau nach rechts um abzulesen ?

17.03.2022, 18:03

Steffen Bühler

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Es sind exakt 1,5. Lies also bei 1,50 ab.

17.03.2022, 18:06

JeffGordon

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Ja aber wieviel nach rechts ?

Hier die tabelle

17.03.2022, 18:09

Steffen Bühler

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Ich kenne die Tabelle, danke.

Schau die Spaltenüberschriften an. Nach rechts laufen die Hundertstel. Der erste Wert ist also für z=1,50. Der zweite für z=1,51. Bis z=1,59. Dann kommt die nächste Zeile.

17.03.2022, 18:17

JeffGordon

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Ah dumm von mir

Dann ist der Wert : 0,93319 ?
Das ist dann sozusagen P ( X<=2 )?

Das gleiche Spiel mit x = 3 jetzt?

Oder einfach 1 - Gegenwahrscheinlichkeit ?

Also : 1 -0,93319?

17.03.2022, 19:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von JeffGordon
Also : 1 -0,93319?

Wieso meinst du denselben Tabellenwert (den zu 1.5) hier nehmen zu müssen? unglücklich

17.03.2022, 19:08

JeffGordon

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$\begin{eqnarray*} z=\frac{-3+1}{2} = -1 \end{eqnarray*}$

Wäre für x = -3 nicht ein negativer Wert ?
Wo lese ich das ab?

17.03.2022, 19:15

HAL 9000

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Hier greift die Symmetrieregel $\begin{eqnarray*} \Phi(-x) = 1-\Phi(x) \end{eqnarray*}$ , d.h. insbesondere gilt dann $\begin{eqnarray*} \Phi(-1) = 1-\Phi(1) \end{eqnarray*}$

17.03.2022, 19:19

JeffGordon

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Interessant

Also bedeutet es das, dass ich hier :

Das ich +3 einsetze ?

Dann kommt z= 2 raus

Bei 2 abgelesen P( X >-3 ) = 0,97725

17.03.2022, 20:30

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von JeffGordon
Interessant

Nicht wahr? Steht übrigens auch alles auf der Seite. Kannst sie ja mal durchlesen. Würde hier eine Menge Zeit sparen.

Zitat:

Original von JeffGordon
Das ich +3 einsetze ?

Aber nein. Du setzt, wie schon richtig geschrieben, x=-3 und erhältst z=-1. Das kann man zwar nicht einsetzen, dafür aber z=1. Ablesen, von 1 abziehen, fertig.

17.03.2022, 20:38

JeffGordon

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Ja aber wie will ich -1 ablesen Steffen ?

Oder meinst du das ich einfach die positive Zahl +1 ablesen soll?

17.03.2022, 20:59

Steffen Bühler

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Ja, wie geschrieben.

17.03.2022, 21:37

JeffGordon

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P =0,84134

Weisst du wie ich das 0.95 Quantil ii) da genau berechnen kann ?
Kennst du dich damit auch aus ?

17.03.2022, 21:53

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von JeffGordon
P =0,84134

Gut. Und jetzt noch, wie nun mehrfach erwähnt…

Zitat:

Original von JeffGordon
Weisst du wie ich das 0.95 Quantil ii) da genau berechnen kann ?

Auch das ist auf der Wiki-Seite gut beschrieben.

18.03.2022, 02:09

JeffGordon

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P = 1 - 0,84134 =0,15866

Welche tabelle muss ich für 0.25 quantil nutzen?

18.03.2022, 09:19

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von JeffGordon
P = 1 - 0,84134 =0,15866

Stimmt, aber ich hab nicht aufgepasst. Es ist ja die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass ein Wert größer als -3 ist, nicht kleiner. Das ist dann nochmal die Gegenwahrscheinlichkeit, also tatsächlich 0,84134. Sorry.

Zitat:

Original von JeffGordon
Welche tabelle muss ich für 0.25 quantil nutzen?

Dieselbe. Allerdings ist dieses Quantil nicht gesucht, sondern 0,95 und 0,99. Die zugehörigen z-Werte, aus denen Du dann die x-Werte bestimmen kannst, stehen in einer Extra-Tabelle weiter unten. Wenn Du aber tatsächlich als Fleißarbeit noch 0,25 bestimmen willst, musst Du den z-Wert für 0,75 raussuchen und invertieren.

18.03.2022, 09:42

HAL 9000

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@JeffGordon

Es hilft auch, wenn man den Gesamtzusammenhang im Auge behält. D.h., statt immer nur erklärungslos einzelne Terme und Zahlen hinzuwerfen sollte man das ganze als verständliche Gleichungen formulieren - im Fall der zweiten Wahrscheinlichkeitsberechnung wäre das

$\begin{eqnarray*} P(X>-3) = 1-P(X\leq -3) = 1 - \Phi\left( \frac{-3-(-1)}{2}\right) = 1 - \Phi\left(-1\right) = 1 - \left(1-\Phi\left(1\right)\right) = \Phi\left(1\right) \approx 0.84134 \end{eqnarray*}$ .

18.03.2022, 10:14

JeffGordon

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0.95 Quantil =1,644850

0.99 Quantil =2,326350

Das wars oder wie leute ?

18.03.2022, 10:24

Steffen Bühler

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Nein, das war's nicht, Leute. Vielleicht hast Du ja meinen Beitrag nicht gelesen:

Zitat:

Die zugehörigen z-Werte, aus denen Du dann die x-Werte bestimmen kannst, stehen in einer Extra-Tabelle weiter unten.

Also noch mal ran.

PS: was den erwähnten Gesamtzusammenhang betrifft, mache ich mir immer gern eine kurze Skizze der Glocke wie zum Beispiel diese:

[attach]54741[/attach]

18.03.2022, 10:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von JeffGordon
0.95 Quantil =1,644850

0.99 Quantil =2,326350

Das wars oder wie leute ?

Nein, das sind erstmal nur die Quantile der Standardnormalverteilung - die musst du aber auf deine Normalverteilung $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}\left(-1,2^2\right) \end{eqnarray*}$ umrechnen.

D.h., man muss die Standardisierung von $\begin{eqnarray*} X\sim\mathcal{N}\left(\mu,\sigma^2\right) \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} Z\sim\mathcal{N}\left(0,1\right) \end{eqnarray*}$ gemäß $\begin{eqnarray*} Z=\frac{X-\mu}{\sigma} \end{eqnarray*}$ umkehren: Aus $\begin{eqnarray*} X = \mu + \sigma\cdot Z \end{eqnarray*}$ lassen sich die Quantile $\begin{eqnarray*} q_{\alpha} \end{eqnarray*}$ der Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ berechnen gemäß

$\begin{eqnarray*} q_{\alpha} = \mu + \sigma\cdot z_{\alpha} \end{eqnarray*}$

mit den Standardnormalverteilungsquantilen $\begin{eqnarray*} z_{\alpha} \end{eqnarray*}$ , die du da gerade abgelesen hast.

18.03.2022, 11:48

JeffGordon

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qa =-1 +2* 1,644850 = 2.29

qa0.99= -1+2*2.326350 = 3.6527

Danke aber alleine nicht so einfach zu lösen Big Laugh

Jetzt alles ok ?

18.03.2022, 11:59

Steffen Bühler

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Korrekt!

Viele Grüße
Steffen

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