Simpson-Regel (1)

17.03.2022, 18:47

Simonx

Simpson-Regel (1)

Guten Abend habe ich hier die Simpson Regel richtig angewendet und und die Werte x_0 bis x_4 richtig berechnet ?

Bevor ich falsch weiter rechne ?

24.03.2022, 17:49

mYthos

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Hallo,

willst du das noch wissen, oder ist das schon erledigt?
Das Bild ist schlecht zu lesen, mache das Foto bitte etwas größer!

mY+

24.03.2022, 17:58

Simonx

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Ja ich möchte diese Aufgabe auch gern machen und hier auch das Prinzip verstehen

Ich glaube mein Ansatz ist bestimmt falsch ?

Hast du tipps wie ich hier vorgehen muss ?

Vielleicht gibst du mir auch paar Tipps und ich fange wieder neu an
Grösseres Bild = nicht hochladen möglich Big Laugh

24.03.2022, 18:19

mYthos

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Versuche einmal, das Bild als JPG zu speichern!
Bei der hier erlaubten Bildgröße müsste eine weit bessere Auflösung möglich sein.
Du kannst auch vor dem Hochladen bei unveränderter Dateigröße den Kompressionsfakter erhöhen (80 - 84)

24.03.2022, 18:26

Simonx

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$\begin{eqnarray*} n =2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h = \frac{b-a}{2m} = \frac{6-2}{2*4} =\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_j = a+ j*h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_0 = a+ 0*h = 2 + 0*h = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 = 2+ 1* 1/2 = 2.5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = a+ j*h = 2+ 2*1/2 = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3 = a+ 3*h = 2 + 3/2 = 7/2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_4 = 2+ 2 = 4 \end{eqnarray*}$

Das waren die berechneten Werte .

Passen die so ?

Soll ich die jetzt in der Formel im Skript einsetzen ?

24.03.2022, 19:46

mYthos

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Du kannst auf einen Blick sehen, dass das nicht stimmt, denn du musst ja am Schluß letztendlich zu x = 6 kommen und wohin kommst du?
Nur bis 4, das wäre ja nur ein Teil der Fläche.

Mit den Bezeichnungen N, n, M, m, h kann man sehr schnell ins Schleudern kommen, denn sie meinen überall etwas anders.
Überdies gibt es bei der summierten Simpsonregel 2 Varianten!

Mein Vorschlag: Löse dich von den starren Bezeichnungen und passe die Werte an die jeweilige Aufgabe an!

(Variante1)
Das gesamte Intervall von 2 bis 6 wird zunächst in 2 Teilintervalle (m = 2) geteilt. Danach wenden wir für jedes Teilintervall die einfache Simpsonregel an.

J = (h/6)[f(x0) +4*f((x0 + x1)/2) + f(x1)]
x0 und x1 sind jeweils Anfang und Ende der beiden Teilintervalle

h =(b - a)/m = 4/2 = 2 , das ist die Breite eines Teilintervalls; h/6 wird dann zu 1/3

So wird es mit den x-Werten recht einfach, das Intervall zwischen den x Werten = h/2 = 1: Daher sind x0 = 2, x1 = 3, x2 = 4, x3 = 5, x4 = 6

[attach]54846[/attach]

Beide Flächen getrennt berechnen
J1 = (1/3)*[f(2) + 4*f(3) + f(4)] und J2 = (1/3)*[f(4) + 4*f(5) + f(6)]

[J = J1 + J2 = 23.74 FE]

Hinweis: Du musst beim Rechnen log_2(x) in den ln umwandeln!

mY+

24.03.2022, 20:07

Simonex

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Wie ist die 2 Variante zum lösen ?
Kann man nicht stur die Formel vom Skript verwenden ?

24.03.2022, 20:39

mYthos

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Dieses Thema ist in der Schulmathematik, ist das richtig so? Ansonsten wird es verschoben ...
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Wo willst du einsetzen, wenn schon die x-Werte bei dir nicht stimmen? Liest du eigentlich genau, was ich geschrieben habe?
Bitte gehe endlich von deinem Bestreben ab, immer nur stur in Formeln einsetzen zu wollen, die du ohnehin nicht verstehst.
Die Variante 2 steht in Wikipedia und ist relativ unangenehm, sodass du dir dort sowieso deine Sünden abbüßen würdest.
Also lassen wir das, sie liefert eh das gleiche Ergebnis.

Schöner aufbereiten und sogar mit einer Grafik versehen konnte ich es für dich kaum mehr machen- und du willst einfach nicht mitarbeiten.
Versuche doch einmal, hier mitzudenken, es ist eigentlich nicht schwer, wenn man es einmal verstanden hat.
Die einzige Formel, die du brauchst und auch verwenden sollst, ist die im vorigen Beitrag fett geschriebene. Alles andere ergibt sich aus der Aufgabenstellung.

Natürlich kannst du auch die im Skript angegebene Formel verwenden, allerdings sollstest du sie ebenfalls durchschauen.
Und damit fängt es schon an, vor allem mit den richtigen Werten für m und h und die einzelnen x-Werte.
Mit m = 2, h = (b - a)/(2m) = 1 Könnte deine Formel eventuell passen.

mY+

24.03.2022, 20:47

Simonex

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h ist ja 2
Mir ist aber nicht so klar wie man darauf kommt wieviele Teilintervallle man hat ?

24.03.2022, 21:56

mYthos

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Dein Problem ist, wie schon öfters bemerkt, dass du zwar die Formel vor dir liegen hast, aber nicht weisst, was sie eigentlich aussagt und wo und was du darin inzusetzen hast.
Das meinte ich mit ein wenig Mitdenken, ansonsten kannst du auch mit deiner Formel nichts anfangen.

Der Zählindex bei der Summe ist j, und der geht von 0 bis 1
Mittels 2j, 2j+1 und 2j+2 werden daher die zwei Reihen x0, x1, x2 und x2, x3, x4 erzeugt (x2 kommt also zwei Mal vor).
Nun siehst du auch schon deswegen, dass insgesamt 2 * 2 = 4 Intervalle existieren und daher deren Breite h = 1 sein muss,
die x-Werte gehen von x0 = 2 bis x4 = 6, im Abstand von je 1.

So. Ich denke, das wird jetzt klar sein und du kannst nun endlich mit dem Rechnen anfangen, ok?

mY+

25.03.2022, 01:21

Simonx

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Alles passt?

25.03.2022, 10:08

mYthos

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Nein, leider. Ich habe etwas anderes.
Wie hast du denn log_2(x) umgeformt? Du hast mit ln(2) anstatt mit log_2(2) gerechnet!

$\begin{eqnarray*} \log_2(x) = \frac{\ln x}{\ln 2} \end{eqnarray*}$ (*)

Und hier sollst du ja mit der summierten Simpsonregel arbeiten, wie ich dir vordem ausführlich beschrieben habe.
Es gibt dann 2 Flächen, J1, J2 (J1= 9.113 und J2 = 14.624). Welche x-Werte hast du für die erste Fläche verwendet?

Es scheint, dass schon deine Funktionswerte nicht stimmen! Es ist z.B. f(2) = 3
-------------

(*) Beweis:
$\begin{eqnarray*} y = \log_2 x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2^y = x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y \ln 2 = \ln x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = \frac{\ln x}{\ln 2} \end{eqnarray*}$

mY+

25.03.2022, 14:40

Simonx

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Habe es nochmal komplett neu mit Formel im Skript berechnet

Richtiges Ergebnis ?

25.03.2022, 21:05

mYthos

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Endlich einmal ein paar Lichtblicke! Augenzwinkern

Die x-Stellen stimmen, auch die Funktionswerte.
Du hast dich jedoch bei 4*f(x1) und 4*f(x3) insoferne geirrt, dass du sie nur mal 2 anstatt mal 4 genommen hast.
Du hättest doch nachsehen bzw. vergleichen können, mit dem, was ich dir als Resultat mitgeteilt hatte.

mY+

25.03.2022, 22:30

Simonx

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4*x1 = 4*log2(3)+3 = 9,3398

Wieso sagst du das ich 2 mal genommen hab?

25.03.2022, 22:51

mYthos

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.. weil ungefähr nur die Hälfte herausgekommen ist, anstatt 4*f(x1) = 18,34 wie es sein sollte.
Ich sehe jetzt aber in deiner Rechnung, dass du einen anderen Fehler gemacht hast:

4*log_2(3) + 3 ist FALSCH, richtig ist 4*(log_2(3) + 3) .. Du hast keine Klammer gesetzt!

Fällt dir der Unterschied auf? Du musst doch den ganzen Funktionswert mal 4 nehmen, also die 3 auch!
Der gleiche Fehler wird vermutlich auch bei 4*f(x3) sein.

mY+

26.03.2022, 00:46

Simonx

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Ah danke jetzt ist der Fehler erwischt worden Big Laugh

26.03.2022, 12:15

mYthos

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So, nun dürfte a) endlich erledigt sein.
Wie geht es bei b) weiter ? (Summierte Rechteckregel)

mY+

26.03.2022, 14:44

Simonx

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Falls das richtig ist hast auch tipps für den letzten Teil?

26.03.2022, 15:09

Simonx

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Wie mache ich das genau mit der Fehlerberechnung mit der Formel ?

26.03.2022, 20:31

mYthos

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Zum Ergebnis: Es ist richtig, bedeutet aber nur J = 2*(f(3) + f(5)), ohne Summenzeichen!
Denn summiert wurde schon!
Das Intervall ist schon halbiert worden und f(3) mit f(5) bedeuten schon die Summen mit j = 0 bis 1.
-------------
Zum Fehler:
Berechne zuerst die Fehlerfunktion: $\begin{eqnarray*} \frac{b - a}6 h^2 f ''(\xi) = - \frac 2 3 \cdot \frac{-1}{\xi^2 \ln 2}; \ h = 1; \ b - a = 4 \end{eqnarray*}$

Der eigentliche Fehler kann dann an einer Stelle* des Intervalls berechnet werden.
Z. B. bei $\begin{eqnarray*} \xi = 4 \end{eqnarray*}$ lautet er -0.06

Somit ist der durch die Rechteck-Regel ermittelte Integralwert von 23,81 auf 23,75 zu korrigieren.
Das exakte Resultat ist übrigens 23,74.

(*) Üblicherweise an der Stelle des Maximums des Funktionswertes der Betrags-Fehlerfunktion

mY+

26.03.2022, 20:53

Simonx

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Woher weiss ich ob ich 4 oder 2 einsetzen soll?

27.03.2022, 01:02

mYthos

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Zitat:

Original von mYthos
...Der eigentliche Fehler kann dann an einer Stelle* des Intervalls berechnet werden.
...
(*) Üblicherweise an der Stelle des Maximums des Funktionswertes der Betrags-Fehlerfunktion

mY+

Die Stelle 4 ist eine gute Wahl, sie liegt in der Mitte des zu betrachtenden Intervalls.
An anderen Stellen, speziell am linken Rand, kann der Fehler größer sein, am rechten Rand ist er kleiner.
So kann man von einem mittleren Fehler ausgehen.
Damit der größtmögliche Fehler nicht ausgeschlossen wird, ist definiert:

$\begin{eqnarray*} \text{Fehler = }\frac{b - a}{6} \cdot h^2 \cdot max_{(a \leq x \leq b)}(|f''(x)|) \end{eqnarray*}$

Das ergibt hier den Fehlerpunkt (2; 0.24), an dieser Stelle ist der größtmögliche Fehler 0.24.

[attach]54866[/attach]

mY+

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